对信号进行小波变换,即实现信号的小波分解,小波分解仅对信号的低频部分进行分解。图1中粗实线为信号空间S在j=4尺度下进行的小波分解示意图。随着分解尺度的增加,低频信号按频带分解越来越细,如果对信号进行m层小波分解,则可得到m+1个分解信号。

图1 小波(包)信号空间分解示意图

连续小波变换能量守恒公式为

∫_R f ²(t)dt=1/(C_ψ)∫∫_R²[W_f(a,b)]²(da)/(a²)db.(1)

式中C_ψ=∫_R(│ψ^{^}(ω)│²)/(│ω│)dω,把公式左边的积分看作信号的能量,则(1)式就可表示小波谱与信号能量之间的关系。

在尺度m对应频带内地震波的能量和(曹晖等,2004)为

∫_R│Y^m(ω)│²dω=1/(2^m)∑_kΔbW_m(b_k)².(2)

为了与前面的书写符号一致,将(2)式写为

∫_ωj│F^j(ω)│²dω=1/(2^j)∑_kΔb_j[W_f(b_j,k)]².(3)

取规范正交小波包基为{2^j/2W_n(2^jt-k),n∈Z₊,k∈Z}(李弼程等,2003),则以该小波包基为基函数,信号f(t)可展开为

f(t)=∑_n∈Z+ ∑_k∈ZC^n,j_k2^j/2W_n(2^jt-k).(4)

式中C^n,j_k=∫_Rf(t)2^j/2W_n(2^jt-k)^-dt。此时,(3)式可变为

∫_ωn│Fⁿ(ω)│²dω=∑_k[C^n,j_k]².(5)

即某频带内的小波包变换系数的平方和等于该频带内的信号能量。

首先将信号按二进尺度在频域中进行小波包分解,得到信号的频谱分布,然后计算各频带内谱系数的平方和,以表示信号在该频带范围内所携带的能量,再以某个频带内的能量为基准,计算信号在其它频带内的能量与基准频带能量之比(杨选辉等,2005)。

选取震中距在50～70 km范围内具有良好台站记录的28个地震事件,地震目录取自宁夏地震观测报告^①(表1)。对表1中的地震事件P波段垂直向记录的256个数据点采用11阶db小波基进行尺度j=1和j=2的小波包分解,并分别计算相应的Ω¹₀/Ω¹₁、Ω²₀/Ω²₁、Ω²₀/Ω²₂、Ω²₀/Ω²₃的值,计算结果见表2。可以看出,对地震信号进行尺度j=1的小波

包分解时,Ω¹₀/Ω¹₁的值均小于25,或除第25号地震事件外均小于e³; 对地震信号进行尺度j=2的小波包分解时,Ω²₀/Ω²₂的值除第24号地震事件外均小于e³,Ω²₀/Ω²₃的值均小于149,或除第25号地震事件外均小于e⁵。

表1 地震事件目录

选取震中距在50～65 km范围内具有良好台站记录的28个爆破事件,其中第24～28号事件为经过落实后确认的爆破,第1～23号事件为测震分析人员对记录波形进行直观分析识别出的爆破,爆破事件目录见表3。与对地震事件的分析处理方法相同,其计算结果见表4。可以看出,对爆破信号进行尺度j=1的小波包分解时,Ω¹₀/Ω¹₁的值均大于25,或均大于e³; 对爆破信号进行尺度j=2的小波包分解时,Ω²₀/Ω²₂的值除第16、20和22号爆破事件外均大于e³,Ω²₀/Ω²₃的值除第7号爆破事件外均大于e⁵。

表2 地震事件P波段垂直向记录的低频段与高频段能量比值

表3 爆破事件目录

表4 爆破事件P波段垂直向记录的低频段与高频段能量比值

以地震事件和爆破事件的序号n为横坐标,两种事件所激发的能量之比(Ω¹₀/Ω¹₁、Ω²₀/Ω²₂、Ω²₀/Ω²₃)的自然对数为纵坐标绘图,尺度j=1时的结果见图2,尺度j=2时的结果见图3。取识别阈值见表5,除尺度j=2时Ω²₀/Ω²₁的识别率为80.3%,其它都达到90%以上,特别是已确认的第24～28号爆破事件,采用该方法均被识别为爆破事件。

图2 尺度j=1时地震和爆破的ln(Ω10/Ω11)对比图

表5 识别地震和爆破的阈值

图3 尺度j=2时地震和爆破的ln(Ω20/Ω21)、ln(Ω20/Ω22)、ln(Ω20/Ω23)对比图(a)阈值取2;(b)阈值取3;(c)阈值取5

由于多数爆破的当量较小,不同震中距的台站不可能都记录到清晰的记录波形,也无法计算、分析不同震中距爆破与地震信号频谱成分的差异,故在此仅选择一次当量较大的爆破,与一次震级相当、有相当震中距的台站、能记录到清晰波形的地震,依旧采用11阶db小波基对各台站P波段垂直向记录的128个数据点进行尺度j=1和j=2的小波包变换,计算不同尺度下不同频带间的能量比值(表6),以探讨不同震中距记录的爆破和地震频谱成分的差异。

表6 同一事件不同台站记录的能量比值

由表6可以看出,在给出的这一对地震和爆破事件中,同一事件不同台站间的同一能量比值有很大差异,说明地震波的频谱特性与震中距、接收台站场地响应、震源到接收台站之间的射线路径上地球介质的非均匀性有关。对于震中距相近的台站记录波形的同一能量比值,地震信号的能量比值总小于爆破信号的能量比值,且同一个能量比值均随震中距增大而增大(尺度j=2时的Ω²₀/Ω²₁值除外)。可见,地震信号和爆破信号随震中距增大而相应衰减,其高频成分比低频成分衰减要快,相对而言爆破信号的高频成分衰减要比地震信号快得多。由于样本数量所限,这一结论还有待进一步的分析和研究。