由上建立的在室率,区域是间断、突变且不连续的。为此,以行政中心为基础形成点域,采用空间插值,形成在室率区划(陈天恩,2006),具体如下:
空间插值常用于将离散点的测量数据转换为连续的数据曲面,以便与其它空间现象的分布模式进行比较,它包括了空间内插和外推两种算法。空间内插算法是一种通过已知点的数据推求同一区域其它未知点数据的计算方法; 空间外推算法则是通过己知区域的数据,推求其它区域数据的方法。
z(x)=m(x)+ε'(x)+ε″.(5)
式中,x为一维、二维或三维空间中的某一个位置,变量z在x处的值可由下式计算,m(x)是描述z(x)的结构性成分的确定性函数; ε'(x)是与空间变化有关的随机变化项,即区域性变量; ε″是剩余误差项,空间上具有零平均值、σ2与空间无关的高斯噪声项。
克里金方法的第一步是确定适当的m(x)函数,最简单的情况是m(x)等于采样区的平均值,距矢量h分离的两点x,x+h之间的数学期望等于零:
E[z(x)-z(x+h)=0.(6)
式中z(x),z(x+h)是随机变量z(x)在x,x+h处的值,同时还假设两点之间的方差只与距离h有关,于是
E[(z(x)-z(x+h))2]=E[(ε'(x)-ε'(x+h))2]
=2γ(h).(7)
式中,γ(h)为半方差函数。
区域性变量理论的两个内在假设条件是差异的稳定性和可变性,一旦结构性成分确定后,剩余的差异变化属于同质变化,不同位置之间的差异仅是距离的函数。这样,区域性变量计算公式可以写成下式的形式:
z(x)=m(x)+γ(h)+ε″.(8)
半方差的估算公式为
γ^(h)=1/(2n)∑ni=1[z(xi)-z(xi+h)]2.(9)
式中,n为距离为h的采样点对的数目(n对点),采样间隔h也叫延迟。对应于h的γ^(h)的图被称为“半方差图”。
半方差是定量描述区域性变化的第一步,它为空间插值、优化采样方案提供了有益的信息。拟合后的半方差重要的用途是确定局部内插需要的权重因子λi。确定λi的过程与加权移动插值方法类似,但不是按一种固定的函数计算λi,而是按采样点数据的半方差图的统计分析原理计算。
z^(x0)=∑λi·z(xi), ∑λi=1.(10)
权重λ1的选择应使z^(x0)是无偏估计,且估计的方差σ2e小于观测值的其它线性组合产生的方差。z^(x0)的最小方差为
σ^2e=∑ni=1λiγ(xi,x0)+φ.(11)
式(12)成立时,才可获得z^(x0)的最小方差
∑ni=1λiγ(xi,xj)+φ=γ(xj,x0).(12)
式中,γ(xi,xj)是z在采样点xi,xj之间的半差; γ(xj,x0)是采样点xj和未知点x0之间半方差,这两个量均可从已拟合模型的半方差上得到。量φ中计算最小方差需要的拉格朗日算子,这个方法叫常规克里金插值。估计的误差σ2e,又叫克里金方差。
克里金插值方法的目的是提供确定权重系数最优的方法并能描述误差信息。由于克里金点模型(常规克里金模型)的内插值与原始样本的容量有关,在样本少的情况下,采用简单的点常规克里金插值的内插结果图会出现明显的凹凸现象,但可以通过修改克里金方程以估计子块内的平均值来克服这一缺点,该方法叫块克里金插值,该方法对估算给定面积试验小区的平均值或对给定格网大小的规则格网进行插值比较适用,子块B内Z的均值为
z(B)=∫[z(x)/s]dx.(13)
式中,SB为子块B的面积,z(x)仍用相同的估计公式
z^(x0)=∑ni=1λiz(xi),∑ni=1λi=1.(14)
最小方差为
σ^2e=∑ni=1λiγ(xj,x0)+φ.(15)
但成立条件则变为
∑ni=1λiγ(xj,x0)+φ=γ^-(xj,B)(16)
块克里金插值估算的方差结果常常小于点克里金插值,所以生成的平滑插值表面不会发生点模型的凹凸现象,目前各GIS系统软件都提供了此种功能(陈天恩,2006)。由此,得出在室率区划图(图1)。
图1 我国中西部地区在室率区划图(14:28)
Fig.1 Regionalization of In-building probabilityat 14:28 in middle-west region of China
