地震动的特性可以通过3个要素来描述,即振幅、频谱和持时。这3个要素的不同组合决定着各类结构物的安全。为了简单实用,本文只研究对工程抗震起主要作用的地震动参数,如下:

(1)加速度(PGA):从静力的观点看待地震动,直观地认为峰值加速度可以作为地震动强弱的标志,因为由此产生的惯性力可代表地震动对结构的破坏作用。

(2)加速度反应谱(S_a):结构物有其自振频率,假若地震动的频谱集中于低频,它将引起长周期结构物的巨大反应; 反之,若地震动的卓越频率在高频段,则它对刚性结构物的危害大。当参数y是单自由度体系的相对位移d、相对速度v、绝对加速度a时,分别称为位移反应谱S_d、速度反应谱S_v、加速度反应谱S_a,且它们的近似关系如下

S_a=(2π)/TS_v=ωS_v=((2π)/T)²S_d=ω²S_d,(1)

其中,

S_v(ω,ξ)=|∫₀^Ta(τ)e^-ξω(t-τ)cos(ω(t-τ))dτ|_max.(2)

式中,ω为圆频率,且ω=(2π)/T。

(3)峰值速度(PGV):峰值速度与地震动能量有关,因此它也作为地震动强弱的标志。

(4)峰值位移(PGD):峰值位移与变形有关,和峰值速度一样也作为地震动强弱的标志。

(5)均方根加速度(A_rms):从随机过程观点看,加速度过程a(t)中的最大峰值是一个随机量,不宜作为地震动特性的标志,而方差则是表示振幅大小特性的一个统计特征。假若取T_d为强震动阶段的持时,则地震动过程a(t)在此持时内可以近似看作是平稳过程,那么单位持时的能量与方差成正比,即

a²_rms=σ²_a=1/(T_d)∫₀^Tda²(t)dt.(3)

这就是均方根加速度a_rms的定义,本文用A_rms表示。

选择地震动衰减理论模型

lny=c₁+c₂M+c₃ln(R+c₄e^c₅M).(4)

其中,y为地震动的任一物理量,如峰值加速度、峰值速度、反应谱(给定周期和阻尼比的幅值)等; c₁、c₂、c₃、c₄、c₅为回归系数; M为震级; R为震中距离; e=2.7183; 标准差为σ_lny。

在对地震动衰减关系进行回归时,一般回归的原则是使某一目标函数优化,常用的原则是回归误差最小二乘法。若已知M、R,求地震动y,则常用的回归原则是

J=∑^N_i(lny_i观测-lny_i回归)²=min,(5)

标准差为

σ_lny=(J/N)^1/2,(对于lny的标准差).(6)

在采用式(4)进行回归时,回归是非线性的,本文采用二步回归法处理。第一步先对同一震级进行回归,而分别将C₀= C₁+C₂M与R₀(M)=c₄e^c₅M视为常数; 第二步再根据不同震级求得的C₀与R₀(M),求得C₁与C₂以及C₄与C₅。

应用式(4)～(6)可求得多个地震动参数水平向和垂直向衰减关系系数及标准差(水平向取两水平方向的较大值)。表1～6分别为峰值加速度、峰值速度、峰值位移、均方根加速度、垂直向加速度反应谱、水平向加速度反应谱衰减关系系数及标准差。

应用上面的计算结果,可画出多个地震动参数的衰减曲线(图2～4)。从图2可看出,峰值加速度衰减较快(图2a),而峰值位移衰减相对较慢(图2c),这与统计资料中有远场大震资料是相符的。图3及图4分别表示不同震级与不同震中距处,垂直和水平向反应谱曲线,体现出近场以短周期的地震波为主导,远场以长周期的地震波为主导的特征,与地震波的衰减规律是相符的。

表1 峰值加速度衰减关系系数及标准差
Tab.1 Coefficients and standard deviation of the attenuation relations of peak ground acceleration

表2 峰值速度衰减关系系数及标准差
Tab.2 Coefficients and standard deviation of the attenuation relations of peak ground velocity

表3 峰值位移衰减关系系数及标准差
Tab.3 Coefficients and standard deviation of the attenuation relations of peak ground displacement

表4 均方根加速度衰减关系系数及标准差
Tab.4 Coefficients and standard deviation of the attenuation relations of root-mean-square acceleration

表5 垂直向加速度反应谱衰减关系系数及标准差(ξ=0.05)
Tab.5 Coefficients and standard deviation of the attenuation relations of vertical acceleration response spectrum(ξ=0.05)

表6 水平向加速度反应谱衰减关系系数及标准差(ξ=0.05)
Tab.6 Coefficients and standard deviation of the attenuation relations of horizontal acceleration response spectrum(ξ=0.05)

图2 云南地区不同震级地震动各参数衰减曲线
(a)峰值加速度;(b)峰值速度;(c)峰值位移;(d)均方根加速度
Fig.2 Different ground motion parameters attenuation curves with different magnitudes in Yunnan(a)PGA;(b)PGV;(c)PGD;(d)RMSA

图3 云南地区垂直向加速度反应谱衰减曲线(ξ=0.05)
Fig.3 Attenuation curves of vertical acceleration response spectrum in Yunnan(ξ=0.05)

图4 云南地区水平向加速度反应谱衰减曲线(ξ=0.05)
Fig.4 Attenuation curves of the horizontal acceleration response spectrum in Yunnan(ξ=0.05)

图5分别是王亚勇等(1991)、王培德等(1993)、向建光和高东(1992)、崔建文等(2006)及笔者求得的云南地区水平向峰值加速度衰减曲线比较。图中表明,本文的结果在近场处的衰减比前人的结果要快,在远场处比前人的结果要慢点,基本是前人结果的包络线。

云南地区多个地震动参数实际值与其衰减关系计算值的比较见图6～10。从图6中可见,竖直向计算值较观测值大,而水平向计算结果与观测结果比较接近。图7为运用反应谱计算公式得出的值,当T=0.16 s时,垂直向的加速度计算值较观测值较小,水平向的加速度计算值较观测值接近。图8显示的峰值速度也体现出在竖直向的计算位移较观测位移偏大的结果。图9显示的峰值位移则在竖直方向与水平方向的计算结果与观测结果较吻合。图 10计算了均方根加速度,其结果也是竖直向的计算结果较观测结果偏大。从图中可以看出,垂直向的衰减关系给出的结果与实测结果分布偏差较多,而水平向的衰减关系给出的结果与实测结果分布基本合理,说明水平向的统计关系比垂直向更合理。

图5 云南地区水平向峰值加速度衰减曲线对比
(a)M5.0;(b)M6.0;(c)M7.0
Fig.5 Attenuation curves comparison of the horizontal peak ground acceleration with different authors in Yunnan

图6 云南地区加速度反应谱实际值与其衰减关系对比
Fig.6 Measured acceleration values and the fitted acceleration response spectra in Yunnan

图7 云南地区周期T=0.16 s时加速度反应谱实际值与其衰减关系的对比
Fig.7 Measured acceleration values and the fitted acceleration response spectra in Yunnan(T=0.16 s)

图8 云南地区峰值速度实际值与其衰减关系的对比
Fig.8 Measured velocity values and the fitted peak ground velocity in Yunnan

由于峰值加速度与均方根加速度单位相同,因此将它们进行对比分析,见图 11。从图中可以看出,两者的衰减趋势基本相同,震级大的峰值加速度与均方根加速度间的差异更大。