无限大地层带有半径为a的圆孔在非均匀地应力q₁和q₂作用下,可分解为面应力q和偏应力s的组合表达式:

q=(q₁×q₂)/2,s=(q₁-q₂)/2.(1)

地层中空孔的受力问题可分解成两个平面应力问题,均匀应力q作用下的力学模型(图1a)和偏应力s作用下的受力模型(图1b),再将两个平面问题进行叠加,可获得地层中空孔的应力场和位移场。

图1 钻孔受均匀应力(a)和偏应力(b)作用下的模型
Fig.1 Model of borehole under uniform stress(a)and partial stress(b)

{σ_ρ=A/(ρ²)+2C-(2B'+(4C')/(ρ²)+(6D')/(ρ⁴))cos2θ,

σ_θ=-A/(ρ²)+2C+(12A'ρ²+2B'+(6D')/(ρ⁴))cos2θ,

τ_ρθ=(6A'ρ²+2B'-(2C')/(ρ²)-(6D')/(ρ'))sin2θ.(2)

式(2)中,A、B、A'、B'、C'、D'为待定系数,当b>>a时,满足应力边界条件

〖JB<4{〗(σ_ρ)_ρ=a=0,(τ'_ρθ)_ρ=a=0,

(σ_ρ)_ρ=b=q+scos2θ,(τ_ρθ)_ρ=b=-ssin2θ.(3)

假设E和v分别表示地层弹性模量和泊松比,由几何方程和物理方程可得地层位移表达式为

{u_ρ=1/E{2(1-v)C_ρ-(1+v)A/ρ-[4vA'ρ³

+(1+v)2B'ρ-(4C')/ρ-(1+v)(2D')/(ρ³)]cos2θ},

u_θ=1/E[(6+2v)A'ρ³+(1+v)2B'ρ+(v-1)

(2C')/ρ+(1+v)(2D')/(ρ³)]sin2θ.(4)

对无孔地层,在ρ=a和ρ=b处应力相同,由式(2)、(3)、(4)可得任一点应变e_ρ表达式为

e_ρ=(u_ρ=a)/a=(1-v)/Eq+(1+v)/Escos2θ,(5)

假设R和S分别表示面应变耦合系数和差应变耦合系数,在ρ=a处,钻孔径向应变e_ρ可表示为面应变和差应变的组合函数:

e_ρ=(u_ρ=a)/a=R(1-v)/Eq+S(1+v)/Escos2θ

=R(ε₁+ε₂)/2+S(ε₁-ε₂)/2cos2θ,(6)

对空孔条件,由式(2)～(4)可得在ρ=a处应变e_ρ表达式为

e_ρ=(u_ρ=a)/a=2/Eq+4/Escos2θ.(7)

由式(6)可得空孔时,钻孔应变的耦合系数R、S分别为

R=2/(1-v)=2.667, S=4/(1+v)=3.2 .(8)

在平面应力条件下,对n层均匀各向同性介质组合模型,取i =1～n,第i层的内外半径分别为r_i 和r_i+1,利用式(2)、(3)可得该层介质中应力表达式为

{σ_ρ=(A_i)/(ρ²)+2C_i-(2B'_i+(4C'_i)/(ρ²)+(6D'_i)/(ρ⁴))cos2θ,

σ_θ=(A_i)/(ρ²)+2C_i+(12A'_iρ²+2B'_i+(6D'_i)/(ρ⁴))cos2θ,

τ_ρθ=(6A'_iρ²+2B'_i-(2C'_i)/(ρ²)-(6D'_i)/(ρ⁴))sin2θ.(9)

由几何方程和物理方程可得第i层介质中位移表达式为

{u_ρ=1/E{2(1-v_i)C_iρ-(1+v_i)(A_i)/ρ-[4v_iA'_iρ³

+2(1+v_i)B'_iρ-(4C'_i)/ρ-(1+v_i)(2D'_i)/(ρ³)]cos2θ},

u_θ=1/E[(6+2v_i)A'_iρ³+2(1+v_i)B'_iρ+(v_i-1)

(2C'_i)/ρ+(1+v_i)(2D'_i)/(ρ³)]sin2θ.

(10)

该n层介质组合模型满足边界条件

〖JB<4{〗(σ_ρ)_ρ=r1=0,(τ'_ρθ)_ρ=r1=0,

(σ_ρ)_ρ=ri+1=q+scos2θ,(τ_ρθ)_ρ=ri+1=-ssin2θ.(11)

同时两种介质的接触面上, 满足应力连续和位移连续的边界条件:

{σ_ρ=ri+1(θ,A_i,C_i,A'_i,B'_i,C'_i,D'_i)

=σ_ρ=ri+1(θ,A_i+1,C_i,A'_i+1,B'_i+1,C'_i+1,D'_i+1),

τ_θρ(θ,r_i,A_i,C_i,A'_i,B'_i,C'_i,D'_i)

=τ_θρ(θ,r_i+1,A_i+1,C_i+1,A'_i+1,B'_i+1,C'_i+1,D'_i+1),

u_p=ri+1(E_i,v_i,θ,A_i,C_i,A'_i,B'_i,C'_i,D'_i)

=u_ρ=ri+1(E_i+1,v_i+1,θ,A_i+1,C_i+1,A'_i+1,B'_i+1,C'_i+1,D'_i+1),

u_θ(E_i,v_i,θ,r_i,A'_i,B'_i,C'_i,D'_i)

=u_θ(E_i+1,v_i+1,θ,r_i+1,A'_i+1,B'_i+1,C'_i+1,D'_i+1).

(12)

将式(9)、(10)分别代入式(11)、(12)可得6n个未知参数的6n个线性方程组,该方程组可分解为一个与面应力q有关的2n个未知参数的2n个线性方程组,以及与偏应力s有关的4n个未知参数的4n个线性方程组。利用线性方程组求解的克莱姆法则,可计算各未知参数,将计算后的未知参数代入式(10),则钻孔内径ρ=r₁处应变e_ρ的理论公式为

e_ρ=(u_ρ=ri)/(r_i)=Mq+Nscos2θ,(13)

式中,M,N是与钻孔模型参数有关的常数。假设E_m和ν_m分别表示地层弹性模量和泊松比,R和S分别表示面应变耦合系数和差应变耦合系数。在ρ=r₁处,应变e_ρ可写成如式(6)的形式:

e_ρ=(u_ρ=ri)/(r₁)=R(1-v_m)/(E_m)q+S(1+v_m)/(E_m)scos2θ

=R(ε₁+ε₂)/2+S(ε₁-ε₂)/2cos2θ.(14)

解方程组(13)和(14),可得R和S的理论值分别为(E_m)/(1-v_m)M和(E_m)/(1+v_m)N。

钻孔开挖后,钻孔围岩受原地构造应力σ₁和σ₂影响,α为原地应力的方位角,受到原地应力作用,钻孔的径向卸载应力Δσ_ρ和切向卸载应力Δσ_θ表达式(蔡美峰,2011)为

{Δσ_ρ=-(σ₁+σ₂)/2-(σ₁-σ₂)/2cos2(θ+a),

Δσ_θ=-(σ₁+σ₂)/2-(3(σ₁-σ₂))/2cos2(θ+a).(15)

在围压较高的岩层中钻孔,钻孔内壁围岩由于围压卸载作用会产生大量微裂隙和层面裂隙,孔壁围岩弹性模量的大小除与岩石性质有关外,还受岩石裂隙密度变化的影响,适用于细观损伤理论Taylor公式(余寿文,冯西桥,1997)为

(E')/E=[1+(16)/(45)((1-v²)(10-3v))/(2-v)f]^-1.(16)

式中,E为基体材料弹性模量; E'为含裂纹的基体材料有效弹性模量; ν为基体材料泊松比; f为微裂纹密度。式(16)表明,随着裂纹密度增加,材料有效模量减小。

若钻孔耦合介质存在各向异性非均匀及非中心耦合,都会导致钻孔应变的耦合系数R、S具有方向性,可用近似椭圆的数学模型来拟合(骆鸣津等,2008):

{R(α)=R₀+R'cos2(θ+a),

S(α)=S₀+S'cos2(θ+a).(17)

式中,R₀、R'、S₀、S'表示耦合系数的非均匀各向异性参数,在钻孔内径ρ=r₁处钻孔应变仍可写成如式(6)的形式:

(u(ρ,θ))/ρ=[R₀+R'cos2(θ+a)](ε₁+ε₂)/2

+[S₀+S'cos2(θ+a)](ε₁-ε₂)/2cos2θ.(18)

在四分量钻孔应变中,可以利用式(18)计算两个相互垂直方向的组合和应变与组合差应变

{(u(ρ,θ))/ρ+(u(ρ,θ+0.5π))/ρ

=R₀(ε₁+ε₂)+S'(ε₁-ε₂)cos2(θ+a)cos2θ,

(u(ρ,θ))/ρ-(u(ρ,θ+0.5π))/ρ

=R'(ε₁+ε₂)cos2(θ+a)+S₀(ε₁-ε₂)cos2θ.(19)

由式(19)可以看出,只有在非均匀耦合系数R'、S'均等于0情况下,四分量应变的组合和应变满足“自检条件”。由于受实际观测条件限制,耦合介质很难满足理想的均匀各向同性条件,因此,通过潮汐标定方法计算钻孔耦合系数时,需要考虑介质耦合的非均匀性影响。