根据结构动力学理论(克拉夫,彭津,2006),多自由度结构体系的动力平衡方程如下:

[M]{(¨overu)}+[C]{(·overu)}+[f_s(u,(·overu))]=p.(1)

式中,[M]是质量矩阵; [C]是阻尼矩阵; [f_s((·overu),u)]是弹塑性体系的抗力矩阵, [f_s((·overu),u)]=[K]'{u},其中[K]'为非线性刚度矩阵,{u}为位移列向量; {(¨overu)}为加速度列向量;(·overu)为速度列向量; p为外部荷载的合力。

式(1)两边同时对位移进行积分,根据Bhattacharjee和Leger(1993)的推导变换,得到基于能量的平衡方程如下:

∫m(¨overu)du+∫(·overu)Cdu+∫[f_s((·overu),u)]du

=∫(¨overu)_tMdu_g+∫pdu.(2)

式中:E_I=∫(¨overu)_tMdu_g,为地震作用输入建筑物系统的能量; E_U=∫pdu,为开采沉陷作用输入建筑物系统的能量; E_K=∫M(¨overu)du,为建筑物系统的动能; E_C=∫(·overu)Cdu,为建筑物系统的阻尼耗能; E_S=∫[f_s((·overu),u)]du,为建筑物系统的弹塑性体系抗力做功。

建筑物系统的弹塑性体系抗力做功主要包括可恢复应变能、损伤耗能、塑性耗能(Anil,Chopra,2005),可表示为

E_S=∫^T₀∫_vσ^rεdVdt.

=∫^T₀∫_vσ^rε^eldVdt+∫^T₀∫_vσ^rε^pldVdt

=∫^T₀∫_v(1-d_T)/(1-d)σ^rε^eldVdt+∫^T₀∫_v(d_T-d)/(1-d)σ^rε^eldVdt

+∫^T₀∫_vσ^rε^pldVdt.(3)

式中,d_T为T时刻的损伤值; σ^r为弹塑性体系的恢复应力; ε为应变量,包括弹性应变量e^el和塑性应变量e^pl。

式(3)可表示为

E_S=E_E+E_D+E_P.(4)

式中,E_E=∫^T₀∫_v(1-d_T)/(1-d)σ^rε^eldVdt为可恢复应变能, E_d=∫^T₀∫_v(d_T-d)/(1-d)σ^rε^eldVdt为损伤耗能, E_P=∫^T₀∫_vσ^rε^pldVdt为塑性耗能。

综合以上理论公式,结合耗散结构理论建筑物系统的能量方程可表示为

E_F+E_H=E_W.(5)

式中,E_F=E_E+E_K为建筑物系统的储存可释放能量; E_H=E_D+E_P+E_C为建筑物系统的耗散能量; E_W=E_I+E_U为建筑物系统的输入能量。

混凝土的应力应变关系可以分为拉伸、压缩两个单轴应力应变关系,其计算方程如下:

(1)拉伸情况下

〖JB<4{〗y=1.2x-0.2x⁶(x≤1),

y=1/(α_t(x-1)^1.7+x)(x>1).(6)

式中,y=σ/f_t,x=ε/ε_t(f_t为混凝土单轴抗拉强度,ε_t为与f_t对应的峰值拉应变),α_t为混凝土拉伸应力—应变曲线的参数值,其计算可在《混凝土结构设计规范》中查找。

(2)压缩情况下

{y=α_a+(3-2α_a)x²+(α_a-2)x³(x≤1),

y=x/(α_d(x-1)²)+x(x>1).(7)

式中,y=σ/f_c,x=ε/ε_c(f_c为混凝土单轴抗压强度,ε_c为与f_c对应的峰值压应变),α_a和α_d为混凝土压缩应力—应变曲线的参数值,其计算可在《混凝土结构设计规范》中查找。

混凝土在外荷载作用下从初始无损伤状态到完全破坏,其损伤演化过程可以用损伤因子来表示,混凝土的损伤因子d(0≤d≤1)计算如下:

(1)拉伸情况下

{d=1-(k_t(1.2-0.2x⁵))^1/2(x≤1),

d=1-((k_t)/(α_t(x-1)^1.7+x))^1/2(x>1).(8)

式中,k_t=f_t/(ε_tE₀)(E₀为0.4f_c时的割线模量),具体计算取值参见《混凝土结构设计规范》。

(2)压缩情况下

{d=1-(k_c[α_a+(3-2α_a)x+(α_a-2)x²])^1/2(x≤1),

d=1-((k_c)/(α_d(x-1)²+x))^1/2(x>1).

(9)

式中,k_c=f_c/(ε_cE₀),具体计算取值参见《混凝土结构设计规范》(2010)。

中国东北某矿区地质条件良好,主要有黏土、煤层和岩层组成,岩层基本以粗砂岩、细砂岩、砂砾岩为主,该矿区(该矿区抗震设防烈度为Ⅶ度)有现浇钢筋混凝土框架结构办公楼(图2),底层层高为3.6 m,其余4层层高为3 m,纵向3跨,跨度为4.2 m,横向2跨,跨度为6 m,该建筑物总高度为15.6 m,总宽度为12 m,总长度为12.6 m,柱子截面尺寸均为600 mm×600 mm,梁截面均为300 mm×600 mm,楼板厚度为120 mm,梁柱均采用C30混凝土,弹性模量E=30 GPa,泊松比v=0.2,密度为2 400 kg/m³,其拉伸、压缩应力应变关系及损伤因子与塑性应变关系如图3所示。

该矿区由于地下煤炭开采致使地表发生移动和变形,根据现场沉陷监测站的实际监测数据,由于采煤沉陷导致办公楼产生了5 mm/m的倾斜(图4)。

图2 办公楼有限元模型
Fig.2 The finite element model of the office building

图3 混凝土应力—应变曲线及损伤演化曲线
(a)拉伸应力—应变曲线;(b)拉伸损伤演化曲线;(c)压缩应力—应变曲线;(d)压缩损伤演化曲线
Fig.3 The stress-strain and damage evolution curves of concrete(a)tensile stress-strain curve;(b)tensile damage evoution;(c)compressive stree-strain curve;(d)compressive damage evolution

图4 煤矿开采沉陷影响
Fig.4 The influence of coal mining subsidence

图5 Kobe地震波(南北向)
Fig.5 Kobe earthquake waves

由于煤层采空后,煤矿开采区上覆岩层在重力作用下发生破坏,致使地表发生位移和沉降,使建筑物基础发生移动或不均匀沉降,建筑物结构局部产生附加应力,当附加应力超过结构承载力时,结构发生破坏,刚度下降。受到开采沉陷与未受到开采沉陷作用的建筑物,在受到地震作用时,其动力响应和破坏程度有很大不同(刘书贤等,2013)。从能量角度来分析,输入了开采沉陷能量和未输入开采沉陷能量的建筑物系统,在输入地震作用能量时,其系统中不同形式耗散能量的变化有很大的不同。

分析不同工况下建筑物系统中的损伤耗散能量可知(图6a):在仅发生地震作用时,建筑物系统中产生的损伤耗散能量呈现出“缓慢变化—急剧增加—缓慢变化”的三阶段变化趋势。说明第一阶段输入建筑物系统的能量较小,未达到产生结构损伤的能量阈值,能量主要以可释放储存能的形式储存在建筑物系统中,较少能量以阻尼耗散能量的形式耗散出建筑物系统; 第二阶段地震加速度突然加大,地震作用输入能量突然加大,系统中能量达到结构产生损伤的能量阈值极限,产生大量损伤耗散能,此时结构的刚度和强度严

重劣化,与外界交换能量较多; 第三阶段地震加速度减小,但是建筑物结构的强度、刚度严重下降,结构产生损伤的能量阈值也降低,在地震作用下仍产生大量损伤耗散能。

在开采沉陷和地震联合作用下,建筑物系统中产生损伤耗散能量,在2 s前趋于0,在2 s后开始较快增加,在7 s后急剧增加,在8 s后缓慢增加,呈现出“缓慢变化—急剧增加—缓慢增加”的三阶段变化趋势,煤矿开采沉陷和地震联合作用下,建筑物能量耗散演化与地震单独作用不同的原因是:煤矿开采沉陷是长期缓慢的损害,对建筑物产生的损伤不可忽视; 输入建筑物系统中的开采沉陷作用能量无法以阻尼耗能的形式与外界进行交换,系统中能量值更加接近建筑物结构损伤能量阀值。

在地震加速度刚开急剧变大时,系统中的损伤耗散能急剧增加,比仅在地震作用下提前了3 s多,说明在开采沉陷和地震联合作用下,建筑物系统产生损伤耗散能量的阀值比仅有地震作用下降的快; 在建筑物系统中损伤耗散能量急剧增加

图6 不同工况下建筑物系统中的损伤耗散能量(a)、 塑性耗散能量(b)、 阻尼耗散能量(c)和耗散能量(d)
Fig.6 The damage dissipative energy(a),the plastic dissipative energy(b),the damping dissipative energy(c)and the dissipative energy(d)of the builing system on different working conditions

后,在开采沉陷和地震联合作用下其损伤耗散能量还在缓慢增加,说明建筑物在开采沉陷和地震联合作用下产生损伤耗散能量的阀值比仅在地震作用下低。

分析不同工况下建筑物系统中的塑性耗散能量可知(图6b):在开采沉陷和地震联合作用下比仅在地震作用下,建筑物系统的塑性耗散能量增加急剧,说明建筑物系统在开采沉陷作用下,系统中能量更接近产生塑性耗散能量的阈值,且阈值降低速度比仅在地震作用下要快; 建筑物系统在开采沉陷和地震联合作用下累积产生的塑性耗散能量比仅在地震作用下多26.5%,说明在开采沉陷和地震联合作用下建筑物产生不可恢复的塑性变形比仅在地震作用下多,此时结构体系的强度和刚度劣化更加严重。

分析不同工况下建筑物系统中的阻尼耗散能量可知(图6c):建筑物系统产生的阻尼耗散能

量在开采沉陷和地震联合作用下,比仅在地震作用下少了29.6%。结合建筑物系统中损伤耗散能和塑性耗散能分析,说明建筑物塑性变形在开采沉陷和地震联合作用下比仅在地震作用下增加,并且随着塑性变形的增加,产生的阻尼耗散能量减小,严重劣化了建筑物的抗震性能。

分析不同工况下建筑物系统中的耗散能量可知(图6d):建筑物系统产生的耗散能量在煤矿开采沉陷和地震联合作用下,比仅在地震作用下多13.5%,说明在煤矿开采沉陷作用下,建筑物系统与外界交换的能量增多,更容易发生涨落,进入到新的状态(建筑物破坏倒塌)。

分析不同工况下建筑物系统中产生的耗散能量及不同形式耗散能量比例图可知(图7、图8):在煤矿开采沉陷作用的影响下,建筑物在地震作用下产生的阻尼耗散能量占总的耗散能量比例由35.29%降低到22.89%,损伤耗散能量占总耗散

图7 建筑物在不同工况下的耗散能量
(a)在地震作用下;(b)在开采沉陷和地震联合作用下
Fig.7 The dissipative energy of the building on different working conditions(a)under the effect of earthquake;(b)under the couple effect of mining subsidence and earthquake

图8 建筑物在不同工况下耗散能量比例图
(a)在地震作用下;(b)在开采沉陷和地震联合作用下
Fig.8 The proportional graphs of the building on different working conditions(b)under the effect of earthquake;(b)under the couple effect of mining subsidence and earthquake

能量的比例由13.61%增长到20.15%,塑性耗散能量占总耗散能量的比例由51.1%增长到56.96%。建筑物系统中产生损伤和塑性耗散能量是由于建筑物中发生损伤和塑性变形,导致建筑物的强度和刚度的退化,并且随着塑性变形的增加,产生的阻尼耗散能量减少。建筑物受煤矿开采沉陷影响下,在地震作用下,不同形式耗散能量比例的变化,说明了煤矿开采沉陷严重劣化了建筑物的抗震性能。