针对线性参数系统(参数识别方程为线性),基于经典最小二乘法可获得结构参数的估计值

θ^{^}=(H^TH)^-1H^TF.(1)

其中,F=[f(1)^T,f(2)^T,…,f(L)^T]^T为L个时刻结构的离散型外力向量; L为采样时点的个数, f(k)(k=1,2,…,L)表示t=k·Δt时刻结构承受的等效激振力列向量; H是由结构动力响应信息构成的矩阵; θ^{^}=[θ₁,θ₂,…,θ_n]^T为结构参数向量的估计值; n为待识别的结构参数个数。

假定结构质量不随时间变化,且激励为地震动时,由运动方程可得

p_i(k)=f_i(k)-m_ix^¨_i(k)

=-m_ix^¨_g(k)-m_ix^¨_i(k).(2)

其中, i=1,2,…,N; m_i为第i个质点的集中质量; x^¨_g(k)为地面运动在t=k·Δt时刻的加速度; x^¨_i(k)为质点i在t=k·Δt时刻的相对加速度。

当基底输入未知时,参数识别及输入反演的迭代计算过程(即复合反演法)如下:

(1)取待识别参数的初始值为θ^～₀,由式(2)计算输入向量相关量的估计值P^～。

(2)利用式(2)和统计平均法得到未知的地面运动加速度为

x^¨^-_g(k)=1/N∑^N_i=1x^¨～_gi(k)

=-1/N∑^N_i=1(x^¨_i(k)+(p^～_i(k))/(m_i)).(3)

(3)由式(2)得出输入相关量的修正值P^{^}为

p^{^}_i(k)=-m_ix^¨^-_g(k)-m_ix^¨_i(k).(4)

(4)利用最小二乘识别算法步骤(1)计算新的结构参数估计值

θ^～=(H^TH)^-1H^TP^{^}.(5)

(5)以θ^～为新的初值,重复上述过程直至识别参数满足给定的精度。

在工程结构的动力测试时,每个测试数据常含有测量噪声,且噪声污染程度各不相同,其中受噪声污染严重的测试点称为异常点,利用含有异常点的一段测试信息识别参数和反演输入,计算结果势必存在较大的误差。

若已获得L个连续采样数据,采用固定长度为S(S ≤ L)的矩形窗选取采样数据,设定参数初值,利用复合反演法进行第一次参数识别和输入反演; 然后,以上一次参数识别值为参数初值,将矩形窗向前移动一个数据(即增加1个新数据,剔除最前端1个旧数据),再次进行复合反演运算; 持续计算,直至矩形窗无新数据或者达到矩形窗设定个数,共进行了M(M ≤ L-S+1)次复合反演计算,获得M组参数估计值和M段输入反演时程,该方法称之为矩形窗法。对应同名参数或同时刻输入,再利用统计平均法,即可获得最终的参数识别值和对应的输入反演时程,这样即可减弱数据异常点引起的较大误差。为了提高精度,还可剔除参数识别异常值对应的复合反演结果。

对于Rayleigh比例阻尼的n自由度剪切型结构而言,参数识别方程为非线性方程:

P=H(θ)·θ.(6)

式中,

H(θ)=[H_k H_cm H_ckθ_k],(7)

θ=[θ^T_k α β]^T,(8)

θ_k=[k₁ k₂ … k_n]^T.(9)

其中,θ为待识别参数向量; θ_k为刚度参数向量,α和β为比例阻尼系数; k_i为θ_k的第i个刚度分量。

利用修正的Levenberg-Marquardt(简称mLM)法求解非线性参数识别方程(6)(非线性最小二乘问题),可取

F(θ)=P-H(θ)·θ.(10)

其雅可比矩阵为

J(θ)=(F(θ))/(θ^T)=-[H_k+βH_ck H_cm H_ckθ_k].(11)

则参数的新估计值为

θ_n=θ-[J(θ_c)^TJ(θ_c)+μ_cI]^-1J(θ_c)^TF(θ_c).(12)

式中, θ_c和θ_n分别为当前值和新估计值。收敛条件为

〖JB<1*=〗θ_n-θ_c〖JB>1*=〗₂≤δ_c.(13)

其中, 当δ_c≥〖JB<2=〗[J(θ_c)^TJ(θ_c)]^-1J(θ_c)^TF(θ_c)〖JB>2=〗₂, μ_c=0, 否则, μ_c > 0。

显然,mLM法需要给定参数初值,因结构刚度和阻尼参数的量级相差特别大,该法对参数初值非常敏感。为解决这一问题,联合不需参数初值的线性SVD法,即:首先利用SVD法确定参数的近似估计值,以此作为参数初值,再利用mLM法求解非线性参数识别方程,简称SVD-mLM法。

本文设计了一个5层单跨钢框架结构试验模型(模型立面图和平面图如图1所示; 实际模型及传感器布置如图2所示),进行振动台试验(振动台振动方向为图1a立面图平面内左右方向,也即图1b平面图平面内上下方向; 柱子尺寸为图1b中楼板两侧的4根横截面8 mm×80 mm钢板柱),以测试剪切型结构在地面运动作用下的动力响应,验证结构物理参数时域识别的改进的复合反演算法。

图1 设计模型

Fig.1 Design model

(a)elevation;(b)plan

图2 试验模型及传感器布置图

试验采用的传感器型号(制造单位或品牌):位移计为SW-1型相对位移传感器(中国地震局工程力学研究所); 速度计为941B型拾振器(中国地震局工程力学研究所); 加速度计为LC0405T型压电传感器(朗斯); 放大器为CA-3积分电荷放大器(北戴河电子仪器厂); 数据采集系统为太平洋6000数采系统(太平洋设备公司); 采集软件为PI66o(太平洋设备公司)。

采用集中质量法,试验模型各层的质量为:m₁=102.585 6 kg,m₂=101.986 6 kg,m₃=m₄=101.387 5 kg,m₅=98.891 5 kg。假定阻尼为Rayleigh比例阻尼,在振动台试验之前先进行模态试验,采用初位移法(顶层钢板施加)和初速度法(第3、4层钢板之间施加)分别确定模型结构沿该方向第一、第二阶振型,并确定相应频率和阻尼比。由模态分析的结果计算出Rayleigh阻尼系数为:α=0.439 193 075; β=0.000 354 87。

本文分别以峰值为0.48 g的EL Centro地震波和峰值为0.1 g、频率为5 Hz的余弦波为激励输入进行振动台试验,测试获得结构模型各层的加速度响应时程(速度及位移响应测试仅用于试验数据重构信息的比较),然后假定输入信息未知,采用改进的复合反演算法进行结构物理参数的时域识别和基底输入的反演研究。

图3 振动台面实测加速度时程曲线(余弦波)

at the shaking table(cosine wave)

图4 实测相对加速度时程曲线(余弦波)

Fig.4 Real measured relative acceleration

time history(cosine wave)

(a)5th floor;(b)3rd floor;(c)1st floor

图3和图4分别为余弦波激励时振动台面实测加速度时程曲线和各层相对加速度时程曲线(仅以第1、3、5层示例)。利用基于矩形窗法、SVD-mLM法改进的复合反演算法识别非线性参数系统,参数初值为1.0。结构模型物理参数识别结果列入表1,地震动反演结果如图5所示。

图5 反演输入与实测输入时程对比(余弦波)

inputting and measured inputting(cosine wave)

表1 模型参数识别结果(余弦波)

of the model(cosine wave)

刚度参数/10⁵ N·m^-1 阻尼系数k₁ k₂ k₃ k₄ k₅ α β4.515 6 4.164 5 6.316 6 5.881 8 8.030 0 0.486 725 0.000 194 82

图6和图7分别为EL Centro波激励时振动台面实测加速度时程曲线和各层相对加速度时程曲线(仅以第1、3、5层示例)。利用基于矩形窗法、SVD-mLM法改进的复合反演算法识别非线性参数系统,参数初值为1.0。结构模型物理参数识别结果列入表2,地震动反演结果如图8所示。

图6 振动台面实测加速度时程曲线(EL Centro波)

shaking table(EL Centro seismic wave)

图7 实测相对加速度时程曲线(EL Centro波)

Fig.7 Real measured relative acceleration

time history(EL Centro wave)

(a)5th floor;(b)3rd floor;(c)1st floor

图8 反演输入与实测输入时程对比(EL Centro波)

inputting and measured inputting(EL Centro wave)

表2 模型参数识别结果(EL Centro波)

刚度参数/10⁵(N·m^-1)阻尼系数k₁ k₂ k₃ k₄ k₅ α β2.445 9 2.670 0 5.977 2 6.326 7 2.925 8 -2.041 515 0.001 061 29

从表1可知,振动台激励为峰值0.1 g振幅稳定变化的余弦波时,识别得到的Rayleigh阻尼系数α和β与模态试验的分析结果相比较,误差分别为10.82%和45.10%,说明结构实际的阻尼是非常复杂的。从图5可知,反演的输入时程和振动台台面实测时程是完全吻合的,这也能说明结构模型物理参数识别结果是可信的。

从表2可知,振动台激励为峰值0.48 g振幅急剧变化的EL Centro地震波时,基于10～16 s时间段的测试数据识别得到的阻尼系数出现负值,说明真实阻尼并不完全符合Rayleigh比例阻尼假定; 随矩形窗的前移,参数识别值有所变化(阻尼系数变化较大),表明在真实的震动作用下结构模型实际状态非常复杂。从图8可知,反演的地震动时程与振动台台面实测时程存在较大误差,但前者能够很好地追踪到后者的变化和峰值,这也说明识别出的参数平均值能够反映结构模型在10～16 s地震动作用下所处的复杂状态。

结构模型在两种不同输入激励下,识别的结构物理参数有较大差异,分析其可能原因为:输入为小振幅平稳变化的余弦波时,结构模型侧移幅度较小,每层钢板重量基本垂直施压在立柱上并向下传递,大质量钢板在一定程度上约束了立柱,增大了刚度、减小了侧移,试验模型更接近于理想的剪切型结构。输入为大振幅急剧变化的地震波时,结构模型侧移幅度较大且剧烈摇摆,较柔的立柱弯曲角度较大,致使钢板与立柱连接的角钢螺栓发生松动,板柱连接不再是刚性连接,层间有效高度增大、刚度减小,侧移增大,在螺栓松动的情况下,钢板和立柱也会发生碰撞,使试验模型在地震动激励下处于复杂状态。

基于振动台试验测试数据,利用修正的复合反演算法,识别结构物理参数和反演输入,产生误差的原因有:(1)材料误差(实际值与设计值不符);(2)设计误差(节点的角钢螺栓连接影响有效高度等);(3)制作误差(尺寸不准、螺栓不紧等);(4)试验误差(振动台、仪器等产生的误差);(5)计算误差(试验模型理想化、测试噪声、数值模型简化等问题)等。