大量观测数据表明(胡聿贤,1999),在近震中区加速度衰减存在2种饱和现象:一是随着震中距的减小,加速度峰值可能并不随之增大,称为距离饱和; 二是随着震级增大,如当震级接近7级或7.5级后,震中附近的加速度峰值并不随震级的增大而增大,称为震级饱和。江苏及邻区历史上虽发生过多次破坏性地震,但震级均在6.5级以内,因此,笔者在研究地震动衰减关系时,选用只考虑近场距离饱和的加速度衰减模型(霍俊荣,胡聿贤,1992):

lg[Y(M,R)]=c₁+c₂M+c₄lg[R+c₅exp(c₆ M)].(1)

式中,Y为地震动参数,如峰值加速度(PGA)、速度(PGV)、位移(PGD)等,M为面波震级,R为震中距(单位为km),c₁、c₂、c₄、c₅、c₆为回归系数。

式(1)中地震动参数Y与M、R均为具有不确定性的随机变量,在研究地震动衰减关系时,为了使回归方法所得结果能真实体现Y、M、R之间的相关关系,胡聿贤和霍俊荣(1988)提出了多随机变量回归分析的一致加权最小二乘法,对于由m个随机变量y_i(i=1,2…,m)和l个确定性变量x_i(i=1,2…,l)所构成的关系式

A+∑^mB_iy_i-∑^lC_ix_i=0.(2)

回归原则要求所有随机变量y_i的归一化回归残差平方和综合最小,即

J=∑^N∑^mW_i(ΔY_ik)²=min.(3)

其中,ΔY_ik为随机变量y_i在第k个样本点处的归一化回归残差,归一化的目的在于使参与最小二乘的变量同量纲化或无量纲化,并确保归一化后变量数值的量级相近,以免小数量级变量的作用在式(3)中求和时被大数量级变量淹没。W_i为体现y_i随机性大小的加权因子,当y_i为确定性变量时,W_i自动变为零,从而不参与最小二乘法计算。此外,式(3)确定的结果不受回归关系式中函数变量选择的影响,无论选取哪个变量作为函数,用函数形式本身或是其反函数形式进行回归分析,结果总是唯一的。

由式(3)确定的回归系数的正则方程为多元高次方程组,对于超过3个随机变量的情况,求解正则方程组十分繁琐。针对这一问题,霍俊荣(1989)提出多随机变量回归方程采用直接迭代法进行求解,本文在计算过程中采用该方法。

采用式(1)的经验衰减模型,将lgSa(T)作为随机变量,运用回归分析和最小二乘法拟合来确定衰减模型中c₁、c₂、c₄、c₅、c₆各个系数。确定回归系数总体分为2步:首先要确定近场饱和因子R₀,即c₅exp(c₆M)中的系数c₅、c₆; 然后将R₀代入式(1)后,再回归得到系数c₁、c₂、c₄。在计算过程中为了更充分地体现地震动的随机变化特性,将每个台站记录的2个水平分向视为2条独立的记录参与回归分析。

图2 地震震级-震中距关系图
Fig.2 Diagram of relationship of magnitude and epicenter distance

从图2可以看出,所获取的强震记录中大部分都集中于3.5级左右,震中距范围为30～150 km。从统计学角度看,样本分布不均匀会造成统计结果的不稳定,样本集合边缘预测值的置信度降低,难以向数据稀少的大震级、近距离外推。因此,笔者参照霍俊荣和胡聿贤(1992)的研究方法,对资料进行加权处理。加权处理的原则是确保权重系数之和在M-R平面内均匀分布,这样数据的权系数就取决于每个M、R分档内数据量的多少,震级分档为:M<3、3≤M<4.5、4.5≤M<5.5,震中距分档为:R<50 km、50 km≤R<100 km、100 km≤R<200 km、200 km≤R<400 km。对含有数据的各分档区间[ΔM_i,ΔR_j]赋予等权重,而每个区间内各数据具有等权1/n_ij,n_ij为[ΔM_i,ΔR_j]内数据的总和。最后再进行标准化处理,使权系数总和等于样本总数,确保统计自由度不变。

根据上述方法,为了解耦震级与距离项,首先选用距离分布范围较广而震级大小不等的数据资料,对0～50 km范围内各个震级档的峰值加速度值进行回归分析,得到震级相关的近场饱和因子R₀:

R₀(M)={0.425exp(0.414M), R₀单独为随机量;

0.812exp(0.198M), R₀与M为随机量.(4)

将其代入式(1)后,再根据3个震级分档的资料回归确定c₁、c₂、c₄系数值,结果见表1,其中4.5≤M<5.5三分向的峰值加速度衰减拟合情况如图3所示。回归分析时将地震动参数Y和M、R的随机不确定性程度视为相近,将式(3)中加权因子W_i取为相同值。最后,分别联合3个震级分档的垂直向、水平向拟合结果(表1),通过最小二乘法拟合获得了江苏及邻区中小地震垂直向和水平向的回归结果,见表2,计算中3个震级分档的权重取值相等。本文还通过计算阻尼比5%反应谱结果,来获得不同周期(0.10～6 s)江苏及邻区水平向的峰值加速度,并拟合得到相应的衰减关系(表3)。

表1 各个震级范围内的拟合系数
Tab.1 Fitting coefficients in each magnitude range

表2 江苏及邻区垂直向和水平向衰减关系
Tab.2 Relationship between vertical and horizontal strong motion attenuation in Jiangsu and its adjacent areas

图3 4.5≤M<5.5地震东西(a)、南北(b)和垂直(c)分量的拟合结果
Fig.3 The fitting results of EW(a),NS(b)and vertical(c)of 4.5≤M<5.5 earthquakes

表3 水平向峰值加速度不同周期的回归系数
Tab.3 Regression coefficients of different periods of horizontal peak acceleration

2012年7月20日20时11分在江苏高邮、宝应交界发生的4.9级地震,这是近30年来江苏省发生的最大内陆地震。江苏省经济发达、人口稠密,此次地震震中位于江苏中部,全省大部分地区震感明显,地震造成1人死亡、2人受伤,造成了巨大的社会影响。江苏省强震动台网中的43个强震动台站共记录到该次地震的129条清晰完整的地震动,其中,震中距最小约为32.2 km,最大约为226.6 km(詹小艳等,2014)。震后,江苏省地震局(2012)通过实地调查得到了实际的烈度分布,这为检验新求得的衰减关系是否可用提供了难得的时机。结合实际观测值,分别采用直接线性内插值和衰减关系计算了加速度场结果,并与实际烈度分布进行差异对比分析。

加速度场的计算方法参考ShakeMap的做法(Wald et al,1999a,b),具体步骤如下:(1)将研究区按0.1°×0.1°的间隔进行网格化,如图4所示;(2)各台站实际记录的峰值加速度代表所在网格区的峰值加速度值;(3)剩余网格节点的地震动值,由式(2)估计得到,其中c₁、c₂、c₄、c₅、c₆的取值见表2(水平向);(4)根据经验估计值和实测值,内插绘制小网格节点(0.05°×0.05°)的地面运动值,平滑各网格节点的峰值加速度值,即得到相应的峰值加速度分布场。

图4 预设的网格节点和台站分布
Fig.4 The default grid nodes and the stations distribution

图5 采用直接内插值方法(a)和衰减关系(b)得到的水平向加速度场的分布结果
Fig.5 The ground motion acceleration results of horizontal component by using the direct interpolation method(a)and the attenuation relation(b)

从图5可以看出,2种计算结果之间存在明显差异,采用直接内插值方法的结果中(图5a),地震动强度较高的区域主要位于震中东北方向,地震动强度场的长轴走向为近东西向; 在采用衰减关系的计算结果中(图5b),震中东北方向区域地震动强度高值的分布面积虽仍大于其他方向区域,但整体上围绕震源呈四象限分布,地震动强度场的长轴走向为近北东向。据江苏省地震局(2012)的震后实际调查评估结果,震中区烈度Ⅵ度,等震线为椭圆形,长轴呈北东向分布,约19.1 km,短轴约10.6 km,总面积约160 km²(图6对应于图5中橙色方框所示区域)。对比图5与图6可以清晰地看到,相较于采用直接线性内插值得到的结果,采用衰减关系计算获得的地震动强度场结果的展布特征更接近于实际调查得到的烈度分布。