长周期脉冲分量分离后的残余高频加速度分量与远场地震动加速度时程较为相似,可以用谱表示方法对其进行模拟。刘章军等(2015)和Liu等(2016,2018)把随机函数引入到源谱表示方法中,实现了对高频加速度分量这一随机过程的降维模拟。

高频加速度时程a_h可表示为:

a_h≈∑^N_k=1(2S(t,ω_k)Δω)^1/2[X_kcos(ω_kt)+Y_ksin(ω_kt)](2)

式中:S(t,ω)为非平稳地震动加速度时程的双边演变功率谱; Δω为频率离散步长; N为频域离散点数; ω₁和ω_u分别是下限截止频率和上限截止频率,且有Δω=(ω_u-ω₁)/N; {X_k,Y_k}为一组标准正交随机变量,应满足如下基本条件:

E[X_k]=E[Y_k]=0, E[X_kY_l]=0

E[X_kX_l]=E[Y_kY_l]=δ_kl(3)

式中:k,l=1,2,…,N; δ_kl为Kronecker符号; E[·]为数学期望。应用随机函数的思想,可将标准正交随机变量{X_k,Y_k}表达为基本随机变量Θ₁的函数,即:

X_k=2^1/2cos(k^-Θ₁+π/4)

X_y=2^1/2sin(k^-Θ₁+π/4)(4)

式中:k^-,k=1,2,… N, Θ₁为在(0,2π)上服从均匀分布的随机变量。k^-为k的某种确定性映射,笔者采用Matlab工具箱中自带的函数rand('state',0)和temp=randperm(N)来实现,即k^-和k之间一一对应的确定性关系可表示为k^-=temp(k)。可以证明,式(4)满足标准正交随机变量的基本条件式(3)。

式(2)中的演变功率谱S(t,ω),可由平稳功率谱与强度调制函数得到,即:

S(t,ω)=〖JB<1*|〗A(t)〖JB>1*|〗²S(ω)(5)

式中:S(ω)为平稳地震动过程的功率谱密度函数; A(t)为强度调制函数。

将式(4)带入式(2)中,即可得到基于谱表示与随机函数法的高频加速度时程的模拟公式:

a_h≈∑^N_k=12(S(t,ω_k)Δω)^1/2cos(ω_kt-k^-Θ₁-π/4)(6)

值得指出的是,若用式(2)来模拟高频加速度时程这一随机过程,需要利用Monte Carlo模拟方法进行大量的随机抽样以获取2×N(N通常大于1 000)个基本随机变量的代表性点集,并且由于Monte Carlo模拟方法无法在全概率信息上描述非平稳地震动随机过程的概率特性,这为复杂工程的随机动力响应和动力可靠度的精细化分析带来了困难。而应用随机函数法的降维思想,将模拟高频加速度时程所需的随机变量的数量降低至1个,从而可以采用数论方法对基本随机变量选取概率信息完备的代表性点集,极大地降低了随机模拟的计算量,也为结合概率密度演化理论对复杂工程结构的随机地震反应和抗震可靠度分析奠定了基础。

近断层脉冲型地震动的典型特征主要包含方向性效应和滑冲效应,本文仅对其方向性效应产生的速度大脉冲进行模拟研究。

采用由Dickinson和Gavin(2010)建议的Gabor小波对低频脉冲速度时程v_p进行模拟:

v_p(t; V_p,T_p,T_pk,N_c,φ)=V_p×exp[-(π²)/4((t-T_pk)/(N_cT_p))²]cos(2π(t-T_pk)/(T_p)-φ)(7)

式中:V_p,T_p,T_pk,N_c和φ分别表示脉冲峰值速度、脉冲周期、脉冲峰值时刻、脉冲循环数和脉冲相位角,其中,N_c和φ为随机变量; T_PK为高频分量速度时程的峰值时刻的均值; 本文拟用地震动峰值速度PGV代替脉冲峰值速度V_p,即:

v_p(t; PGV,T_p,T_pk,N_c,φ)=PGV×exp[-(π²)/4((t-T_pk)/(N_cT_p))²]cos(2π(t-T_pk)/(T_p)-φ)(8)

已有研究(Mavroeidis,2003; Bray,Rodriguez,2004; Psycharis et al,2013)表明,这样做可以保证地震响应分析和抗震设计偏于安全; 其余参数可以通过以下方法确定。

地震动峰值速度PGV可采用Somerville(1997)建议的经验公式确定:

ln(PGV)=-2.31+1.15M_W-0.5lnR(9)

式中:M_W是断层处可能发生的矩震级; R表示断层距。

速度脉冲周期T_p可采用Somerville(2003)建议的经验公式确定:

lgT_p=-2.02+0.346M_W(10)

采用Gabor小波对低频脉冲速度时程进行模拟。其中半波数N_c和相位角φ作为随机变量处理,该模型可以模拟不同脉冲数且脉冲峰值不等的速度脉冲,可以方便地生成特定地震动。

通过式(4)的引入,并采用数论方法选取基本随机变量的代表性点集,模拟高频加速度时程所需的随机变量数量由2×N个降低至1个,极大地减少了生成代表性样本的计算量,实现了随机过程的高效降维。再加上模拟低频速度时程所需的2个随机变量,本文方法仅需3个随机变量就可对近断层脉冲型地震动进行降维模拟。

前面提及的2个随机模型分别模拟的是近断层脉冲型地震动的高频加速度时程和低频速度时程,首先需要将降维模拟的高频加速度时程转化为对应的速度时程。假定在t_i到t_i+1的时间间隔内,近断层地震动加速度为[a(t_i)+a(t_i+1)]/2,对降维模拟的近断层地震动高频加速度时程a_h(t)进行积分得到高频速度时程v_h(t)。然后利用残余速度峰值v_res对v_h(t)进行调幅得到标准化的高频速度时程(Dickinson,Gavin,2010):

v_s(t)=v_h(t)(v_res)/(max〖JB<1|〗v_h(t)〖JB>1|〗)(11)

式中:v_res=0.509×PGV(Yang,Zhou,2015)是对实测地震动记录进行脉冲识别并提取后的残余速度峰值。

由标准化高频速度时程v_s(t)与低频速度脉冲时程v_p(t)进行叠加得到降维模拟的近断层脉冲型地震动速度时程:

v(t)=v_h(t)+v_p(t)(12)

同理,在Δt的时间间隔内,假定近断层地震动速度线性变化,对合成的近断层脉冲型地震动速度时程v(t)进行微分得到降维模拟的近断层脉冲型地震动的加速度时程a(t); 同样可以对降维模拟的近断层脉冲型地震动速度时程v(t)积分得到降维模拟的近断层脉冲型地震动的位移时程u(t)。

近断层脉冲型地震动的随机模拟可以分解为高频分量和低频分量2个随机过程的模拟,其中高频分量采用含1个基本随机变量的谱表示与随机函数方法来模拟,低频分量采用含2个基本随机变量的Gabor小波来模拟。

首先,利用数论方法(Li,Chen,2007)在区间上均匀分布的三维空间选取一组含有nsel个点的代表性点集{θ1,m,θ2,m,θ3,m}nselm=1,每一个代表性点的赋得概率Pm=1/nsel。其次,将第一维度的点集{θ1,m}nselm=1一一映射到区间(0,2π)上,得到基本随机变量Θ的代表性点集。同时,利用等概率反变换方法将第二维度的点集{θ2,m}nselm=1和第三维度的点集{θ3,m}nselm=1分别映射到指定的对数正态分布和正态分布(Yang,Zhou,2015),得到基本随机变量Nc和φ的代表性点集。因此,三维随机变量{Θ,Nc,Φ}的代表性点集就可以唯一确定,每个代表性点的赋得概率仍为Pm。最后,选取基本随机变量Θ的代表性点集用于生成近断层脉冲型地震动高频加速度时程集合,取基本随机变量Nc和φ的代表性点集用于生成近断层脉冲型地震动低频速度脉冲时程集合。从而,可生成近断层脉冲型地震动加速度、速度和位移时程。

需要指出的是,利用数论方法选出3个基本随机变量的代表性点集,使其具有赋得概率P_m,且所有代表性点构成了完备的概率集合,便于在进一步的研究中结合概率密度演化理论(Li,Chen,2006)对结构的动力反应及抗震可靠度进行分析。

假设断层所在场地为第II类场地,选用第一组设计地震参数。假设断层处可能发生M_W7.0地震,工程场址的断层距R=40 km; 根据式(9)和式(10)分别计算得到PGV=49.18 cm/s,T_p=2.52 s。

对于近断层地震动高频加速度过程对应的平稳功率谱密度函数S(ω),本文采用Clough-Penzien谱,即

S(ω)=(ω⁴_g+4ζ²_gω²_gω²)/((ω²-ω²_g)²+4ζ²_gω²_gω²)×

(ω⁴)/((ω²-ω²_f)²+4ζ²_fω²_fω²)×S₀(13)

式中:ω_g和ζ_g分别是场地土的卓越圆频率和阻尼比; ω_f和ζ_f分别是基岩的卓越圆频率和阻尼比; S₀表示谱强度因子:

S₀=(a^- ²_max)/(r²πω_g(2ζ_g+1/(2ζ_g)))(14)

式中:a^-_max是地震动峰值加速度的均值,根据地震动的能量衰减关系(张齐等,2013),本文取为240 cm/s²; r是峰值因子。因为近断层脉冲型地震动具有脉冲幅值大、持时短的特点,本文采用欧进萍和王光远(1998)提出的强度包络函数:

A(t)=[t/cexp(1-t/c)]^d; c>0, d≥1(15)

式中:参数c是控制地震动加速度的到达时刻,参数d是控制强度包络函数A(t)形状的参数,取Liu等(2018)的建议值。

高频分量的计算参数及其取值见表1,低频脉冲分量随机建模的统计参数见表2。

表1 高频分量参数
Tab.1 Parameters of high-frequency component

表2 低频脉冲分量随机参数
Tab.2 Random parameters of low-frequency pulse component

图1a为本文方法生成的185条代表性样本的高频加速度时程。由图可知,生成的代表性样本时程曲线具有地震动加速度时程的非平稳特性。图1b为本文方法生成的代表性样本的低频速度时程。从图中可以看出,本文方法模拟的是单一成分的速度脉冲。

图1 高频加速度(a)、低频速度(b)代表性时程
Fig.1 Representative time-series of high-frequency acceleration(a)and low-frequency velocity(b)

图2为对随机变量进行标准化处理后生成的185条代表性样本的高频加速度时程集合的均值、标准差和目标值。均值相对误差为7.6×10^-10,标准差相对误差为4.2%,均小于误差限值5%,满足误差要求。其中,均值误差无限趋近于零,可以将模拟值近似看作是一个零均值的随机过程。

图2 高频加速度时程的均值(a)和标准差(b)
Fig.2 Mean and standard deviation of high-frequency acceleration time-series

图3为185条代表性样本的低频速度时程集合的均值、标准差和目标值。可以看出,模拟值与目标值拟合较好,这证明了本文降维模拟方法的正确性。

图3 低频速度时程的均值(a)和标准差(b)
Fig.3 Mean(a)and standard(b)deviation of low-frequency velocity time-series

图4 降维模拟加速度(a)、速度(b)、位移(c)代表性时程
Fig.4 Acceleration,velocity and displacement Representative time-series by dimension reduction simulation

图4为本文方法降维模拟的近断层脉冲型地震动时程,图4a是降维模拟的加速度代表性时程,体现出了近断层脉冲型地震动明显的强度非平稳特性和脉冲特性; 图4b是降维模拟的速度代表性时程,表现为少数时间节点上的速度跳跃性,更为明显地体现出了降维模拟的近断层脉冲型地震动的速度大脉冲特性和向前方向性效应; 图4c是降维模拟的位移代表性时程,同样体现出了该类地震动的脉冲特性。