加速度地震动是非平稳时间过程,不同频率成分地震动组合得到窄带波包所携带主要能量的到达时间是不一致的。一般而言,高频成分的主要能量先到,低频成分的主要能量后到。结构弹塑性地震反应分析结果表明,地震动非平稳特性对结构反应具有重要影响(Wang et al,2012; 张郁山,赵凤新,2014)。《超限高层建筑工程抗震设防专项审查技术要点》(中华人民共和国住房和城乡建设部,2015)要求高度超过200 m的各类建筑结构需要进行大震弹塑性时程分析(王亚勇,2017)。因此,有必要研究可计入其非平稳特征的地震动模拟方法,为重要工程结构抗震设计以及大中型城市地震灾害情景构建提供合理的地震动输入。

地震动模拟方法有2类:地震学方法和工程方法。地震学方法一般应用于模拟区域地震动场,可大致区分为:确定性方法、随机方法和混合方法。确定性方法受限于地下介质资料不足,目前大多用于1 Hz或以下频带范围地震动的模拟(Roten et al,2011)。随机方法产生的相位受限于高斯白噪声是平稳随机过程,模拟结果难以反映地震动的非平稳特性(Boore,2003,2009; Dabaghi et al,2018)。混合方法在如何实现高低频地震动的合理衔接以保证地震动非平稳特征的一致性上仍需进一步研究(孙晓丹等,2011; 方小丹等,2014)。 工程方法一般应用于模拟工程结构场点位置处的地震动,但它一般不考虑震源以及地震动传播的物理过程。为此,廖振鹏和魏颖(1988)提出了一种耦合工程方法与地震学方法的非平稳地震动模拟方法,基于能量传播速度为群速度这一概念,建立了可用于统计区域范围强地震动相位规律的等效频散模型,进而提供了一个比相位差谱更容易理解的物理框架,以给出统计平均意义上符合区域地下介质波传播特征的强地震动相位生成技术。

本文是廖振鹏和魏颖(1988)研究工作的延拓。首先回顾了窄带波包能量行进速度——群速度与波包时延这2个概念,然后对比分析了已有的波包时延计算方法,采用Boore(2003)给出的相位微分法计算波包时延并建立等效群速度模型。基于该模型阐述了地震动非平稳相位的计算及地震动模拟方法。以典型非平稳地震动为例,通过分析模拟地震动和实际地震动对应的反应谱和RotD50残差分布,验证了该方法的合理性。在此基础上,探讨了其在区域非平稳地震动场模拟中的应用。

基于波包时延的概念,在震源辐射出来的波包中,将以最快速度到达记录台站的波包所经历的时间t₀作为地震动起始时间,得到不同中心频率成分地震动波包行进的等效群速度为:

U(f)=R/[t(f)+t₀](10)

式中:R是震中距; t₀=R/U_m,U_m是等效群速度的最大值; t(f)为相对于t₀的波包时延。

考虑到地震动受震源物理过程、波在深部地下介质和浅层场地中传播过程的综合影响,且一般而言传播距离不等于震中距,称U(f)为等效群速度。因此基于地震动记录提取等效群速度,做如下处理:首先对地震动记录进行基线校正和高通滤波处理(Boore,2003),因为极低频地震动记录有可能是失真的。然后根据99%能量持时提取记录的强震段t_d=t₂-t₁,即根据I(t₁)=0.001, I(t₂)=0.991来确定,其中能量积分为:

I(t)=∫^t₀a²(τ)dτ〖JB<2/〗∫ ₀^∞a²(τ)dτ(11)

式中:t₁=t₀。再由式(9)计算波包时延,这样保证波包时延计算用到的记录起始时间为最快波包到达台站的时间,然后利用式(10)计算等效群速度。考虑到地震动传播具有一定的随机性,可将等效群速度表示为:

U(f)=U^-(f)(1+η)(12)

式中:U^-(f)表示等效群速度随频率变化的平均趋势; η是一个具有零均值的随机过程。考虑如下U^-(f)拟合公式(廖振鹏,金星,1995):

U^-(f)=a₀+a₁lg(f+1)+a₂[lg(f+1)]²(13)

式中:a₀,a₁,a₂系数可通过最小二乘或其他优化方法求解。一旦求得U^-(f),η的样本η'便可以确定,但是得到的样本均值可能不是零,所以要对η进行微调:

ε=∫ fm0η'(f)df,

η(f)=η'(f)-ε/f_m(14)

同时还需要调整式(13)的求得的系数,即a^-_i=a_i(1+ε/f_m),最后基于修正后η(f)样本确定η这一均匀分布的取值范围,本文取为95%置信区间{-1.96S[η(f)], 1.96S[η(f)]}, S[η(f)] 为η(f)样本的标准差。图4中给出了基于S3E记录求取对应等效群速度模型的流程图,最终得到的参数分别为a^-₀=1.110 9,a^-₁=3.332 1,a^-₂=

图4 以S3E记录为例的等效群速度提取流程图
Fig.4 Step diagram of the extraction of equivalent group velocity form given seismic records,taking S3E records as an example

-1.002 9,S[η(f)]=0.285 7。基于群速度模型,建立地震动记录的相位信息,进而给出模拟地震动。具体步骤包括:①基于式(12)计算出等效群速度样本; ②利用c_phase(ω)=f〖JB<1*/〗∫ ^f₀[1/U(f)]df,计算得到相速度,在此基础上计算相位φ(f)=-2πfR/c_phase(f)+2πfR/Um; ③结合基于模拟或实际记录得到的地震动幅值谱,基于傅里叶逆变换给出模拟地震动。3 基于等效群速度模型的地震动模拟

以上述S3E海底地震动以及1986年11月14日7级地震为例,利用震中距为79 km的Smart-1中心台站三分量观测地震动,基于上述方法给出符合记录非平稳特征的模拟地震动。结果表明:模拟地震动在统计平均意义上与实测记录的非平稳特征基本一致。最后讨论了该方法在区域地震动场模拟中的应用。

3.1 典型海域与陆域场点非平稳地震动模拟

在上文给出的S3E记录的一个相位拟合样本的基础上,在{-1.96S[η(f)], 1.96S[η(f)]}区间对η(f)进行随机采样,得到50组不同的相位样本,然后将相位与原记录傅里叶幅值谱结合,基于傅里叶逆变换得到模拟地震动。图5给出了S3E原记录与50组模拟地震动中的一个样本,以及50组模拟地震动记录计算所得加速度反应谱的平均值与原记录加速度反应谱的对比图,结果表明:模拟地震动记录不仅在时间过程上较好地反映了原记录的非平稳特性,且模拟地震动记录所得加速度反应谱的平均值与原记录加速度反应谱基本吻合。与之类似,本文将上述方法用于拟合Smart-1中心台地震动三分量观测记录,对每一个地震分量给出50次模拟结果。 表1给出对应于三分量记录的群速度模型,地震动模拟结果如图6所示。此外本文还将水平两方向的50次模拟地震动进行了合成,求出其RotD50与原始的记录的

图5 S3E原记录(a)、50组模拟地震动中的一个样本(b)以及50组模拟地震动记录计算所得加速度反应谱的平均值与原记录加速度反应谱的对比图(c)
Fig.5 The original record(a),a sample of 50 simulations of S3E(b),and comparison between the average acceleration response spectrum of 50 simulations records and the original recorded acceleration response spectrum(c)

图6 Smart-1中心台3方向的原记录(a),50组模拟地震动中的一个样本(b)和50组模拟地震动记录计算所得加速度反应谱的平均值与原记录加速度反应谱的对比图(c)
Fig.6 The original records observed at smart-1 center station(a),a sample of 50 simulations(b), and the comparison between the average acceleration response spectrum of 50 simulations records and the original recorded acceleration response spectrum(c)

RotD50的残差(Boore,2010),结果如图7所示,本文建立的地震动模拟方法在保证反应谱拟合精度的前提下,很好地再现了地震的非平稳特性。

表1 Smart-1中心台3方向记录的等效群速度模型参数取值表
Tab.1 Equivalent group velocity model parameter value table for 3-direction recording of Smart-1 central station.

图7 Smart-1水平两方向50次模拟地震动合成时程后的RotD50与原始的记录RotD50的残差图
Fig.7 The residuals of RotD50 between the original recording and Smart-1 50 times simulation of horizontal two directions