自古以来关于地震的起因就有多种说法,诸如地下雷、火山喷发、可燃性物质爆发燃烧、岩浆剧烈活动等。现在比较常见的地震成因学说有断层成因说、岩浆冲击成因说和相变成因说,其中断层成因说最为人所重视。

地下岩石受到长期的构造作用积累了应变能,当积累的能量超过一定限度时,地下岩层突然破裂,形成断层; 或者是沿已有的断层发生突然的滑动,释放出很大的能量,其中一部分以地震波的形式传播出去,形成地表震动,即弹性回跳理论(Reid,1910),这是Reid(1910)研究1906年旧金山大地震发震断层(圣安德烈斯断层)的地表破裂所得到的结论。

地震描述可以等效为边值条件下固体内部裂纹稳定性的力学问题(Rice,1976; Bigoni,2000),在远场边界持续加载过程中,或地幔物质移动作用下,一定温度下的岩石圈材料在裂纹处出现局部化变形。在分析域内,很多缺陷经历不可逆的生长,如空洞和已有裂纹的汇合、位错传播、新的缺陷成核; 同时不同类型的缺陷间会发生强烈的相互作用,促使位错、裂纹快速进化、扩展,导致域内材料逐步劣化; 裂纹周围有限区域内积累的应变能突然释放,促使裂纹失稳扩展,弹性回跳产生介质振动,以波的形式向四周传播,随后分析域进入调整期和新的积累期。

边界应力持续加载是长时间的过程,失稳是瞬时发生的。关于裂纹稳定性定义,可归结为:裂纹只有在外载荷不断增加时,才能持续扩展,如果外载荷保持不变,裂纹就不继续扩展,则可以认为裂纹状态是稳定的; 反之,若在外荷载不变情况下,裂纹持续加速扩展,则该裂纹状态为不稳定(阿特金森,1992)。

设分析域中存在势函数Π,在某一平衡状态下有一任意小的扰动,此势函数获得一增量△Π,用Taylor级数在此平衡位置处展开:

ΔΠ=δΠ+1/(2!)δ²Π+…(1)

式中:δΠ=0是平衡状态保持稳定的充分条件。当ΔΠ>0和δ²Π>0时,系统是稳定的; 当δ²Π<0时系统是不稳定的; 当δ²Π=0时,系统处于一个临界点,系统有可能稳定,也有可能不稳定。

按照脆性失稳定义,地震发生是没有前兆的,但由于人类知识的非完备性和地震发生的复杂性,应用GPS观测裂纹的物理场,联合断裂力学方法,可以有效评估滑动断层近期地震的危险性。本文从能量平衡原理出发,把地震触发过程转换为数学、力学中系统发生局部失稳问题,给出分析域内局部失稳临界条件。计算了部分地震发震断层的表面自由能,并给出了计算裂纹能量释放率方法。

假设包含一条裂纹的固体分析域为V,体力为b; 应力边界为S_σ; 应力φ; 位移边界为S_u; 位移为u^-; 裂纹边界为S_c,则应力为φ_c,平衡方程为:

σ+b={0 Earthquake

ρü ∈Earthquake (2)

固体本构关系形式为:

σ=Dε或σ^·=Dε^·(3)

式中:D为介质的弹性刚度张量。

图1 裂纹扩展和失稳破裂过程模型
Fig.1 Model of crack propagation and instability rupture process

在拟静力加载条件下,建立满足式(2)和(3)初边值条件的介质出现裂纹扩展和裂纹失稳破裂过程模型(图1),其中包括拟静力应变能积累过程和系统失稳的地震过程。

由于裂纹存在,固体内部位移场为u=u+[[u]]H_S,H_S为裂纹处的阶跃函数,裂纹处作用力为φ_c,相应的势能原(Washizu,1982)为:

Π=∫_V\SWdV-∫_VbVdV-∫_SσφudS-∫_Sunσ(u-u^-)dS-∫_Scφ_c[[u]]dS(4)

式中:W为应变能密度,W=∫₀^εσdε。

δΠ=0,即有:

-∫_V\Sδu(σ+b)+∫_Sσδu(nσ-φ)-

∫_Suδ(nσ)(u-u^-)+∫_Scδ[[u]](nσ-φ_c)=0(5)

式(5)左边前3项分别对应平衡方程、应力边界条件和位移边界条件。笔者关注的是第四项,只有符合裂纹扩展条件,即:φ_c=n[σ_c(G_c)],才存在裂纹稳态扩展,即:

σ(G)-σ_c(G_c)=0(6)

式中:G是裂纹扩展的能量释放率; σ(G)是以G表述的应力; G_c是裂纹表面自由能,其值为2Γ; σ_c(G_c)是以G_c表述的材料破坏应力。

式(6)也可以采用应力强度因子K和J积分来表述,三者存在确定的关系,且在拟静态过程中等效。需要说明,在经典断裂力学中,裂纹尖端的应力具有奇异性,式(6)中的σ(G)改为G(σ)可能更好理解; 但在分子动力学分析中,材料破裂的本质是原子键的断裂。

由式(1)知,临界稳定性条件为:

δ²Π=-∫_V\Sδu(δσ)dV+∫_Sc{n·δ[σ(G)-σ_c(G_c)]·δ[[u]]}dS=0(7)

对于岩石圈材料,σ_c(G_c)在裂纹扩展过程中有所变化,在均匀脆性材料中,仅当δσ_c(G_c)=0时,才能与线性断裂力学一致; 一般地,当分析域内存在一裂纹时,不管是基于线性还是非线性断裂力学观点,裂纹尖端存在应力集中区,裂纹附近区域积累的应变能消耗就会集中在裂纹扩展上。

域内刚度(式(7)第一项)会从加载阶段进化为弹性卸载分叉状态,即式(7)右边第一项为0。因此裂纹失稳扩展的临界条件为:

∫_Sc{n·δ[σ(G)-σ_c(G_c)]·δ[[u]]}dS=0(8)

把裂纹剖分为有限个子段S_ci,上式转化为:

∑_i∫_Sci{nδ[σ(G)-σ_c(G_c)]·δ[[u]]}dS=0(9)

当子段足够小,且能识别裂纹尖端时,式(8)等价于:

nδ[σ(G)-σ_c(G_c)]·δ[[u]]=0(10)

由式(6)可知:

δσ=(∂σ)/(∂G)(∂G)/(∂S_c)δS_c,δσ_c=(∂σ_c)/(∂G_c)(∂G_c)/(∂S_c)δS_c(11)

已知σ和G具有确定关系,且(∂σ)/(∂G)=(∂σ_c)/(∂G_c),其值设为ξ。把式(11)代入式(10),有:

n·((∂G)/(∂S_c)-(∂G_c)/(∂S_c))δS_c·δ[[u]]=0(12)

按照断裂力学之能量释放率的定义,无论裂纹扩展沿自身平面还是转向,其尖端扩展均采用了移动坐标规定,即δS_c与δ[[u]]反向(李世愚等,2010)。考虑特殊向量δ[[u]]=-g和δS_c=hn,其中,h≠0,g≠0,n∈〖JB<1|〗n〖JB>1|〗=1,合并g·h=D,则式(12)变化为:

n·((∂G_c)/(∂S_c)-(∂G)/(∂S_c))·n·D=0(13)

上式为D的齐次线性方程,非0解条件为:det[n·((∂G_c)/(∂S_c)-(∂G)/(∂S_c))·n]=0,此为裂纹非形状改变的失稳扩展临界条件。

特殊情况下,当仅考虑3种基本断裂情况时,失稳扩展临界条件为:

(∂G_Jc)/(∂S_c)-(∂G_J)/(∂S_c)=0, J=Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ(14)

失稳扩展条件为:

(∂G_Jc)/(∂S_c)-(∂G_J)/(∂S_c)<0, J=Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ(15)

由此不难得出,若分析域内能量释放率G与表面自由能G_c线性变化时,失稳扩展条件为G_c<G。在满足式(15)时,结合式(2)可判断由新生破裂或断层胶结后的再次破裂的地震发生。

本文针对单一裂纹连续介质内地震发生的临界条件、能量释放率与裂纹表面自由能进行了理论分析,得到的主要结论如下:

(1)从能量原理出发,可把地震触发过程视为数学、力学中系统发生局部失稳问题,并推导出分析域内局部失稳临界条件为新生破裂或断层胶结后的再次破裂,即地震发生条件。

(2)基于线性断裂力学理论,统计分析了震源参数较全的一些历史地震发震断层的表面自由能,结果表明,走滑断裂、逆断裂、正断裂引起的地震表面自由能最大分别为5.2×10⁷ J/m²,5.4×10⁷ J/m²,4.5×10⁷ J/m²。

(3)依据应用势能原理,提出了一个由GPS台网观测数据确定断裂能量释放率的计算公式,为进行特定断裂近期发生地震的可能性的判定提供了方法。

按照脆性失稳定义,地震发生是没有前兆的。然而由于对地壳介质、断裂深部几何构造、区域构造运动认知的非完整性,不能排除一些地震会存在前兆。通常地震发生前,发震断裂区域范围内的位移场会产生变化,尤其在断裂端部产生诸如鼓包、凹陷和裂纹等局部位移异常,当这些异常显著时,可由理论分析能量释放率和断裂表面自由能之间的关系,判断地震发生的可能性。GPS是位移场观测的一个重要工具,它不仅能给出断层附近的位移场分布,还可以分析闭锁区域的范围和能量积累,这为本文方法的应用提供了数据基础。

本文计算应力、裂纹能量释放率等的方法基于实验室中得到的材料和岩石力学原理公式,而实际中的地表断层的大规模运动、物质迁移和地震现象与实验室中的实验有着显著的不同。目前的实验还无法完全真实地模拟出真实地震的应力积累和发生机制,这也是当前地震研究的难点之一。本文理论计算与实际的差异除了来自于数据来源的可靠性、模型的不确定性等因素之外,实验中的岩石材料与实际地壳断层的本质区别也是重要的因素。因此,本文提出的判定断层危险状态的方法可以作为一种思路的尝试,但要形成完整理论体系、真正在实际地震中得到应用,还需要对模型、公式做大量的改进。