本文采用李永义(2014)提出的震害经验预测方法计算路段单元的通行概率,该方法给出了地震烈度、路基土和场地类别等7个震害影响因素的量化值(表1)以及路段单元的震害指数的经验算式:

式中:x_ij是第i个路段单元的第j个震害因素的量化值; β_i是路段单元的震害指数。

道路的破坏程度一般为基本完好、轻微破坏、中等破坏、严重破坏和完全破坏5个等级,对应的震后道路通行状态为允许通行、限制通行和禁止通行。

表1 路段单元的震害因素量化值
Tab.1 Quantitative values of seismic damage factors for road units

在允许通行和限制通行状态下,道路的破坏程度越高、其通行概率越低; 在禁止通行状态下,道路的通行概率为0。震后道路通行概率P_r与道路震害指数β_i之间的关系为:

P_r=1-β_i　(2)

结合表1、式(1)和式(2),可以计算出路段单元的震害指数β_i。然后根据表2判断β_i所属区间,从而确定路段单元的震害程度和对应的通行概率。[HJ]

表2 路段单元的通行概率
Tab.2 Passing probability of road units

本文使用朱美珍(1994)提出的桥梁震害经验预测方法计算桥梁单元的通行概率,该方法总结了9类震害因素的系数值(表3),并给出公路桥梁震害预测的经验算式:

式中:A是桥梁单元的震害指数; W₀是计算系数,取值为0.85; W_jk是第j项震害因素中第k类的加权系数值(表3); δ_jk是观测系数; 当第j项震害因子中有第k类因素时δ_jk=1,否则δ_jk=0。

结合表3和式(3),可以计算出桥梁的震害指数A; 然后,根据表4(李英民等,2009)判断A所属区间,从而确定桥梁单元的震害程度以及对应的通行概率。

表3 桥梁单元的震害因素系数值
Tab.3 Coefficients of seismic damage factors for bridge units

表4 桥梁单元的通行概率
Tab.4 Passing probability of bridge units

本文采用Fang等(2008)提出的震害经验预测方法计算隧道单元通行概率,该方法给出7种隧道震害影响因素的量化值(表5),隧道的震害经验预测算式为:

式中:y是隧道单元的震害指数,当y≤0时,取y=0,当y>1时,取y=1; b_jk是第j项震害因子中第k类的计算系数值(表5); δ_jk是观测系数,当第j项震害因子中有第k类因素时,δ_jk=1,否则δ_jk=0。

根据式(4)和表5,可以计算出隧道单元的震害指数y; 然后,通过表6(李英民等,2009)判断y所属区间,从而确定隧道单元的震害程度及其对应的通行概率。

表5 隧道单元的震害因素系数值
Tab.5 Coefficients of seismic damage factors for tunnel units

表6 隧道单元的通行概率
Tab.6 Passing probability of tunnel units

本文使用王余庆等(2001)提出的边坡震害经验预测的方法计算边坡单元通行概率,该方法综合考虑地质、坡角、坡高、降水强度和地震烈度5个主要震害因素,对各因子分级赋值(表7),边坡震害的经验算式为:

H=(S×S_a×S_h)(T_s+T_p)　(5)

式中:H是边坡的震害指数; S是地质条件,S=S₁×S₂; S_a是坡角; S_h是坡高; T_s是地震烈度; T_p是降雨强度。

表7 边坡单元的震害因素赋值
Tab.7 Valuation of seismic damage factors for slope units

表8 边坡单元的通行概率
Tab.8 Passing probability of slope units

区域公路网是一个复杂的物理网络系统,再加上地震发生的不确定性,因此区域公路网震后连通可靠性的分析较为复杂。贝叶斯网络作为一种概率图模型,既可以根据条件概率关系整合不确定性变量之间的联系,也能基于实时的观测信息和专家意见动态评估系统功能,是处理不确定性问题的有效工具(Kabir,Papadopoulos,2019)。故本文将其应用于区域公路网震后连通可靠性分析模型的构建,具体的建模过程有3个步骤:

(1)事件树分析

分析区域公路网震后连通可靠性之前,需要明确公路单元、公路段、路径和OD(Origin-Destination)之间的连通逻辑。事件树是一种可以将系统事故与导致事故原因之间的逻辑关系用树形图表示的分析方法,区域公路网震后连通的事件树如图1所示。在该事件树中,当一条公路段上所有单元连通时,那么该条公路段是连通的; 当一条路径上的所有公路段都连通时,该条路径才连通; 而当一对OD的所有路径中有一条是连通的,那么此OD是连通的。

图1 公路网连通的事件树
Fig.1 Event tree of highway network connectivity

(2)成功树构建

成功树可以依据成功事件的发生概率以及事件之间的逻辑关系计算顶事件成功的概率。先通过网络分析确定公路单元、公路段、路径和OD对之间的构成关系,然后根据事件树分析得到它们之间连通逻辑,构建区域公路网对应的成功树,如图2所示。OD连通是顶事件,公路段连通和路径连通是叶节点事件,公路单元连通是底事件。每个事件都有两个状态:连通状态用1表示,中断状态用0表示。公路单元、公路段、路径、OD之间的连通关系用与或门(AND-OR)表示,其中与门(AND Gate)是指与某个父节点事件相连的所有子节点事件都发生时,该父节点事件才发生。或门(OR Gate)是指与某个父节点事件相连的子节点事件中,只要有一个发生,那么父节点事件就会发生。

图2 公路网连通的成功树
Fig.2 Success tree for highway network connectivity

(3)成功树转化为贝叶斯网络

贝叶斯网络所需参数为根节点的概率分布和其它节点的条件概率分布。成功树转化为贝叶斯网络有以下步骤:首先将成功树中的事件与贝叶斯网络中的节点一一对应,重复的事件合并为贝叶斯网络中的一个节点。然后,将输入事件对应的节点通过有向弧连接到逻辑门对应输出事件的节点,并把成功树中的与门和或门转化为贝叶斯网络中节点的条件概率表,如图3所示,若E和T为1,表示事件发生; E和T为0,则表示事件不发生。

通过上述步骤可以得到区域公路网对应的贝叶斯网络,然后将公路单元的抗震可靠性作为贝叶斯网络的先验概率,计算分析区域公路网震后的连通可靠性。

本文系统功能的修复策略表现为关键单元及其修复优先级的识别。关键单元是指那些抗震可靠性发生轻微变化时,关联的OD对连通可靠性发生最大变化的单元。Kjærulff和Gaag(2000)提出的贝叶斯网络下的敏感度分析被用于识别关键单元,其中贝叶斯网络下OD节点的连通可靠性表示为:

图3 与门(a)和或门(b)对应的贝叶斯网络
Fig.3 Bayesian network corresponding to AND gate(a)and OR gate(b)

式中:P是贝叶斯网络中OD节点的连通可靠性; U(0<U<1)是单元节点的抗震可靠性; a,b,c,d是计算系数。根据关键单元的定义,可以得到敏感度系数S,即OD节点的连通可靠性P对单元节点抗震可靠性U的导数:

当U=0/1时,公路单元的状态为中断或连通,单元中断或连通是一个必然事件,此时单元的敏感系数为0。敏感度分析中,具有最大敏感度系数值的单元可以确定为该OD的关键单元,从而推断公路网在当前状态下的关键单元。

为快速修复震后公路网系统的连通可靠性,使用基于贝叶斯更新的启发式方法识别关键单元的修复优先级:①将公路单元抗震可靠性作为贝叶斯网络的先验概率,计算贝叶斯网络中各节点第i阶段(初始阶段为第1阶段)的连通可靠性; ②采用敏感度分析识别第i阶段的关键单元; ③修复步骤②中的关键单元至期望抗震可靠性ESR(Expected Seismic Reliability,0～1); ④将被修复单元的抗震可靠性作为新的概率输入,更新区域公路网震后连通可靠性分析模型,得到第i+1阶段的连通可靠性和关键单元; ⑤重复步骤②～④,直到某一阶段识别出的关键单元的抗震可靠性满足期望抗震可靠性ESR。