完整的地震勘探数据是深入认识地下介质速度结构和断层构造的重要前提,受限于复杂的采集环境以及仪器工作条件,检波器的空间采样往往出现不完整、不规则的缺失(曹静杰等,2022)。但地震子波估计、多次波去除、偏移归位等对原始地震数据的完整度有很高的要求(唐刚,杨慧珠,2010)。因此,地震数据的压缩和重建成为必须要解决的问题。为了得到连续完整的数据,需要一种高精度非线性的插值方法对缺失数据进行插值重建(张帅等,2021)。传统方法大都受到Nyquist采样理论的限制,对于不满足采样定理的超稀疏地震数据,插值效果不佳(郭念民等,2014)。

压缩感知理论于2006年被正式提出,随着其理论模型不断被完善改进(Candes et al,2006; Herrmann,Hennenfent,2008),已被成功应用于多个地震学和地球物理反演问题中(张帅等,2022; 白兰淑等,2022; Zhan et al,2018)。即使是随机缺失的数据,通过压缩感知理论也可以恢复出满足一定精度要求的完整数据(张华,陈小宏,2013; 刘璐等,2021)。不同于传统的插值方法,压缩感知理论是一种基于物理模型的稀疏反演方法,提供了解决这一问题的新思路,而合理的采样方法是其关键核心技术之一。传统的压缩感知重构算法采用的是单纯随机采样,无法控制采样间隔,容易造成某些关键信息的丢失,也容易出现采样点聚集现象,造成某些区域采样过密(唐刚,2010)。基于改进的随机采样方法,如Jitter采样和泊松碟采样多是直接应用在不同的地震数据重构上(张华,陈小宏,2013; 唐刚,2010),并没有与传统的采样方法进行对比分析,Jitter采样方法的地震数据重构的效果与传统方法相比到底如何,还需进一步的分析研究。

本文基于压缩感知理论,构建了一种基于Jitter采样的压缩感知地震勘探数据重构方法,从采样模型和采样信号频谱分析方面与传统的随机采样方法进行了详细地对比分析。通过对合成地震数据进行模拟测试,综合分析重建前后,模拟地震数据的信噪比、均方根误差、互相关系数的参数评价结果。最后选取实际地震浅层勘探数据验证本文方法的重构效果。

本文通过建立一个模型实例来说明不同采样方法的采样规则。规则欠采样一般按照Nyquist-Shannon采样定理的要求进行采样,采样点的分布比较均匀且密集,但是可以保证信号的信息不会丢失(图2a)。规则欠采样方法的采样点间隔相同、比较稀疏,是以远低于采样定理规定的采样率对信号进行欠采样,采样率降低,容易造成信号混入假频(图2b)。较为常见的高斯随机采样方法,其采样点分布比较随机,有些采样点的分布比较密集,有些采样点比较稀疏,这种采样方式虽然可以避免混入假频,但容易引入与频率相似的相干噪声,且容易丢失信号细节信息(Loris et al,2007)(图2c)。Jitter采样的采样点比较均匀,既可以以远低于采样定理要求的采样率进行欠采样,又可以保证信号的信息不会丢失,且假频均被转化成不相干的噪声,且易于去除(图2d)。

为了更进一步验证Jitter采样方法的优点,本文模拟了一组频率分别为25 Hz、30 Hz和50 Hz的地震信号,按照不同采样方式进行采样,并进行频谱分析,如图3a所示。

标准的规则欠采样方式,按照采样定理的要求,进行100%的高频率采样,可以采集到信号的完整信息,并不会导致假频率混淆,如图3a所示。分别对原始信号分别进行50%的规则欠采样、高斯随机采样、Jitter随机采样,其信号如图3b～d所示。

图3e是信号的真实频谱,可以看到信号的频率被完全准确识别。而从规则欠采样后的信号的频谱(图3f)可以看出,尽管真实频率被识别,但出现了一些假频,分别为300 Hz、350 Hz和375 Hz,而这些假频会被带入重建过程,严重影响数据恢复质量(张华等, 陈小宏, 2013)。而高斯随机采样把假频转化成了低幅值的噪声,真实频率也可以很容易被检测到,但是随机噪声和部分真实频谱相互混叠在一起,不容易分离,如图3g所示。[FL)][KH-1D]

图2 不同采样规则模型
Fig.2 Models with different sampling rules

图3 使用不同采样方法采样后的信号及频谱分析
Fig.3 Signals by different sampling methods and their spectral analysis

Jitter采样方法同样是一种随机采样方法,不同于传统随机采样方式,其对采样间隔可以进行较为灵活的控制,如图3d所示。同时其具有蓝色噪声频谱特征,蓝色噪声频谱特征是描述随机类型特征的一个统计模型(Titova et al,2023),其特点是在主要频率周围分布的其他频率值都非常小,所以真值或者主频率就很容易被检测到(唐刚,2010)。蓝色噪声频谱具有明显的点扩散函数的特征,有效降低互相干噪声对主频率的影响,更加有利于数据的恢复重建(Bai et al,2020)。从图3h可以看出,与高斯随机采样相比,Jitter随机采样的主频特征可明显被识别,且噪声得到明显地压制。

为了验证基于Jitter采样的压缩感知地震勘探数据重建效果,本文进行合成地震数据测试,如图4所示。已知一维理论地震数据长度为1 000个采样点,信号带宽20～80 Hz,采样率100 Hz,且具有两个正弦周期,如图4a所示。由于一维地震数据的压缩重建,只利用到一个方向的信息,实际的应用相对比较有限。为了验证该方法在多维地震数据的应用效果,提高多方向的地震数据重建效果,按照正弦函数曲线对一维模拟信号进行不同时间延迟排列合成二维地震数据,以模拟地震勘探中的中间放炮的单炮记录如图4b、c所示。

图4 合成单炮地震数据
Fig.4 Synthetic seismic data

首先对原始信号(图5a)分别进行规则欠采样、高斯随机采样和Jitter采样。观测矩阵在采集到的位置设置为1,未采集到的位置设置为0,采样率均为50%(图5c、e、g)。对采样后的二维数据进行f-k谱分析,原始数据的f-k谱比较光滑,谱特征分布较为明显(图5b)。50%的规则欠采样后的信号f-k谱前后出现明显的假频,且与真实的频谱较为一致,几乎难以区分(图5d)。而高斯随机采样虽然克服了假频的干扰,但是大量的相干噪声混淆在真实频率中,传统的滤波方法可能无法有效去除(图5f)。Jitter采样不但保证信号的真实频谱得到采集,而且有效压制了不相干的噪声(图5h)。

在压缩感知理论框架下,根据不同采样方法采集到的50%的观测数据,基于正交匹配追踪算法对稀疏信号进行重建,对重建后的地震数据与原始信号进行对比分析以及f-k谱分析。

从重建信号与模拟信号及其f-k谱(图6a、b)的对比可以看出,对于规则欠采样,缺失部分的信号重建效果几乎不准确,并带入了大量的假频信息(图6c、d),这种采样方式不可取。而高斯随机采样,虽然可以恢复信号的主要信息特征,但采样较为稀疏的部位,信号恢复不够理想,f-k谱不光滑,有较小的频谱泄漏(图6e、f)。而Jitter采样可以达到很好的重建效果,重建后的信号与模拟信号的波形和振幅一致性仍较强,相位恢复精度较高,获得较好的处理效果,f-k谱较为光滑,无明显的频谱泄漏,与原始信号的f-k谱较为一致(图6g、h)。同时,Jitter采样方法比高斯随机采样具有更强的压制噪声能力。

为了对重建效果进行综合评价,从信噪比、均方根误差、互相关系数3个方面进行分析,如图7所示。Jitter采样重建后的信号信噪比高于高斯随机采样和规则欠采样,均方根误差均低于两者,并且随着采样率越低,信号的缺失比例越高,重建后的信号信噪比越低,误差越大。当缺失比例达到40%以上时,规则采样的信噪比大幅下降,均方根误差大幅增加,重建精度降低。而Jitter采样和高斯随机采样的缺失比例达到70%以上时,信噪比和均方根误差才出现明显的变化, 如图7a、b所示。当缺失比例为50%时,Jitter采样和随机采样重建前后的信号互相关系数均高于0.98,重建精度较高。而规则采样互相关系数仅仅分散在0.75～0.9,多集中在0.85,如图7c所示。可见在即使信号缺失比例较高时,本文的方法依然具有较好的重建效果。

图5 使用不同采样方式对模拟信号采样后的信号及其f-k谱分析
Fig.5 Signals of simulated signals by different sampling methods and their f-k spectrum analysis

图6 使用不同采样方式对地震数据进行重建后的信号及其f-k谱分析
Fig.6 Reconstruction results and f-k spectrum analysis using different sampling methods

选取在野外开展的一次地震浅层勘探数据验证本文方法的重构效果,如图8a所示。该叠加深度剖面有500个地震道,每道有1 000采样点。首先基于高斯随机采样方式随机缺失50%实际叠加剖面数据,如图8b所示。利用压缩感知稀疏反演重建算法对缺失数据进行压缩重建,重建结果如图8c所示。可以观察到基于高斯随机采样方式重建后的地震数据信噪比没有得到明显改善,噪声和线性干扰依然较大,深层同相轴的连续性没有得到明显改善。[HJ]

基于Jitter采样方式,对原始数据(图9a)随机缺失50%实际叠加剖面数据,如图9b所示。利用压缩感知稀疏反演重建算法对缺失数据进行压缩重建,重建结果如图9c所示。本文方法重建后的地震数据信噪比更高,剖面信息更加丰富,深层同相轴的连续性增强,视分辨率得到明显提高,尤其是局部细节信息得到了很好的恢复。

同时,本文方法重建后的地震数据,同相轴的连续得到明显的增强,高频段有效信号得到有效恢复。而且经过处理后的地震数据信噪比高、横向连续性好,重构前后的误差较小、分布相对均匀。对随机的线性干扰也进行了很好地去除,对同相轴的连续性和一致性恢复较好。

图7 重建效果评价分析结果
Fig.7 Evaluation and analysis of reconstruction effectiveness

图8 50%高斯随机采样重建前后地震数据对比
Fig.8 Comparison before and after 50% Gaussian random sampling reconstruction

本文基于压缩感知理论,构建了一种基于Jitter采样的压缩感知地震勘探数据重建方法,并进行了合成地震数据和实际数据测试,主要得到以下结论:

(1)Jitter采样的采样点比较均匀,既可以以远低于采样定理要求的采样率进行欠采样,又可以保证信号的信息不会丢失,且假频均被转化成不相干的噪声,易于去除。

图9 50% Jitter采样重建前后对比
Fig.9 Comparison before and after 50% Jitter sampling reconstruction[HT]

(2)Jitter采样重建后的信号与模拟信号的波形和振幅一致性仍较强,信噪比更高、误差小、互相关系数更高,相位恢复精度较高,获得较好的处理效果,同时,f-k谱较为光滑,无明显的频谱泄漏,与原始信号的f-k谱较为一致。

(3)本文方法处理后的地震数据信噪比更高,剖面信息更加丰富,深层同相轴的连续性增强,视分辨率得到明显提高,尤其是局部细节信息得到了很好的恢复。