山谷、河谷等局部凹陷地形是工程上常见的地形(梁建文等,2003),我国西南部地区地形条件复杂,许多桥梁都须跨越山谷,设计建造时必须考虑地形因素。针对浅圆山谷地形地震效应的研究很多,根据方法的不同,大体上可将其分为解析方法和数值方法两种。对边界条件比较规则、介质性质和分布比较均匀、介质为线弹性的情况,解析方法具有较大优势。而对于非均匀、介质为非弹性和边界条件比较复杂的情况,由于地震波的散射、折射和波形转换的影响,解析方法会受到极大的限制,这时数值法方法会更为有效,因而这种方法具有更广阔的应用前景。另外,虽然对地形效应的研究很多,但非弹性浅圆山谷地形的数值解还较少,在这种地形条件下地震波入射角度、介质粘性阻尼等因素对地震动谱特性的影响目前仍停留在感性认识阶段。笔者利用李小军(1993)、廖振鹏和袁晓铭(1993)给出的适用于任何地形情况且具有较高计算精度和计算稳定性的显式有限元有限差分方法对粘弹性浅圆地形进行了研究,力求获得该地形对出平面运动谱特性的影响规律,此方法在研究其他地形的影响方面也有较大的借鉴意义。

不同深宽比的浅圆弧常作为实际的山谷地形的简化模型,大量针对二维浅圆形山谷在SH波入射下的解析解(Trifunac,1973; Wong 和 Trifunac,1974; 廖振鹏和袁晓铭,1993)和三维半球形山谷在SH、P、SV波入射下的解析解(Lee,1982,1984; Sanchenz-Sesma和Eaquil,1979)都假定山谷为单一的凹陷地形。随着研究的深入,对浅圆山谷地形效应的影响研究已经由研究弹性半空间中的各向同性介质发展到了研究各向异性介质对弹性波的传播和散射(Crampin,1981; 刘殿魁韩峰,1988),由单一山谷的散射问题发展到了相邻凹陷的散射问题(许贻燕和韩峰,1992; 刘殿魁许贻燕,1993),由单一山谷的影响问题发展到层状凹陷山谷的影响问题(Yuan和liao,1995; 梁建文等,2003)。对浅圆山谷地形影响的研究大多假定介质为完全弹性,较少涉及介质粘性,但实际上土体或岩体有不同程度的阻尼,介质阻尼引起的能量损耗相当明显,因此在地形影响问题中考虑介质的阻尼是很有必要的。另外,大量的解析解和数值解关注的都是地形对地表位移和峰值加速度的影响,对地震动频率成分的影响考虑相对较少,而且定性结果较多,定量结果较少,因此针对粘弹性的浅圆山谷地形进行地震动谱特性影响的定量研究对分析地形影响机理和影响程度有重要意义。

本文的数值分析采用显式有限元有限差分方法(李小军等,1995),该方法在二维粘弹性场地地震反应分析中具有较高的计算精度,由于引入了一种新的积分格式,它有效地克服了计算中出现的高频误差的放大问题。在数值计算中将遵循如下规定:

(1)用平面等参四节点四边形单元来模拟均质土体或岩体;

(2)用瑞利阻尼来考虑介质的粘性:[C]=α[M]+β[K],式中[C]、[M]、[K]分别为阻尼矩阵、质量矩阵、刚度矩阵。为考虑介质阻尼的方便,一般假定α为零;

(3)有限元网格的空间离散步距取为ΔX<(1/10)λT,以保证弹性波动在离散体系中传播时的计算精度;

(4)在模型底部和左、右两侧,用二阶透射人工边界来模拟实际场地中地震波动能量的散射。

数值计算方法的合理性往往通过与解析解的比较来检验。笔者采用的算例是半圆形谷地地表的地震响应,介质为均匀土体,入射地震波为垂直入射的简谐SV波(Wong,1982)。选用这个算例是因为该地形的解析解已被许多学者用来作为新的计算方法检验的标尺(Bouckovalas等,1999)。图1分别给出了Wong(1982)采用的方法和本文方法得到的地表峰值位移与自由场地地表峰值位移的比值(包括水平分量比值U_h和竖向

图1 数值方法的验证

分量比值U_v)。由图可知本文方法获得的计算结果与解析解的计算结果比较符合。

不规则场地对地震产生的地面运动及震害有很大的影响,这已在国内外许多震后调查中得到证实(李方杰,2005)。为了探讨均匀粘弹性半空间上浅圆山谷地形的影响,我们建立了如图2所示的计算模型,并在整个浅圆弧上等间距地选取9个观测点。模型的物理参数如下:S波波速为1 000 m/s,圆弧宽度为L,深度为H,半径为R。采用透射人工边界从无限介质中切取包括凹陷在内的有限计算区,对有限计算区采用有限元离散化。规则区中正方形有限单元的边长为5 m,计算时间步长取0.001 s。

实际地震动往往包含较宽的频段,为研究频域内各不同观测点地面运动谱比的差异,笔者采用频域内波形单一、带宽较宽(约为0～50 Hz)的钟形脉冲(荣棉水和李小军,2007)作为能比较直观地反映观测点地面运动概况的简单入射波时程(图3)。将此时程脉冲作为SH波,从模型底部输入即可计算得到不同情况下1～9个观测点的位移时程。

图2 计算模型示意图

图3 位移脉冲(a)及其傅氏谱(b)

对于给定的波动输入,取β=0.000 2,取计算时步长为0.001 s,所有的计算结果都取至10 Hz。观测点在位移脉冲下的位移如图4所示。

图4 输入SH波时凹陷地形各观测点的位移时程(θ=0°)

由于图2所示的计算模型和观测点位置的对称性,在脉冲波垂直入射时仅给出第1～5个观测点不同深宽比得到的谱比曲线(图5、图6)。

图5 不同深宽比情况下观测点1谱比的比较(L=500 m,θ=0°,β=0.000 2)

图6 不同深宽比情况下观测点2(a)、3(b)、4(c)、5(d)谱比的比较(L=500 m,θ=0°,β=0.000 2)

笔者计算得到了浅圆山谷在脉冲波入射角度为0°、15°、30°、45°、60°、70°、80°七种情况下地形各观测点谱比随频率的变化曲线。由于观测点较多,只选取第5观测点5个不同入射角度的计算结果(图7)。分析发现,入射角度在0°～45°时谱比形状比较类似,峰值大小也比较接近,而入射角度为60°时,曲线形状会发生很大的变化。将计算角度在45°到60°之间加密,我们发现,大于45°的若干入射角度时的谱比规律也较为类似,各观测点都能得到这一结论,由于篇幅的限制不能给出每个观测点的谱比图,本文仅给出观测点1的结论(图8)。可以认为θ为45°是谱比规律发生变化的特殊的分界角度。另外,通过对大量的计算数据分析可得到如下结论:① 入射角度增大,凹陷顶部的点(如点1)宽频放大的趋势增大,而凹陷底部的点(点5)宽频缩小的效应增强。此结果与Trifunac(1973)用解析方法得出的半圆形山谷在SH波以不同角度入射时得出的结果相吻合; ② 对于半圆形凹陷,当入射角度小于等于45°时,随着入射角的增大,观测点谱比幅值略有增加,谱比曲线也朝着高频方向移动(图9),当入射角大于等于60°时,谱比曲线形状会发生很大的变化,幅值变得很大; ③ 由观测点2、3、4的谱比曲线形状随入射角度变化的规律可知,离凹陷底部越近,窄频段的放大效应会逐渐减弱,而场地缩小效应会逐渐占据优势地位。

图7 不同入射角度下观测点5的谱比(L=500 m,β=0.000 2)

图8 不同入射角度下观测点1的谱比(L=500 m,β=0.000 2)

图9 不同入射角度下观测点2的谱比(L=500 m,β=0.000 2)

图 10 不同阻尼系数下观测点5的谱比(a)和谱比曲线局部放大(b)(L=500 m,θ=0°)

(1)对于SH波入射的凹陷地形,凹陷顶部有明显的宽频带放大效应,这种放大效应基本上是随着深宽比和体波入射角度的增大而增大的,在较宽的无量纲频率范围内凹陷底部表现出场地缩小效应,深宽比越大,体波入射角度越大,这种效应越明显。

(2)对于SH波入射,随着深宽比的增大,整个谱比曲线形状变化激烈部分朝低频平移。入射角度小于45°时,随入射角度的增大各观测点谱比波形变化激烈部分向高频移动,对本文设定的半圆凹陷模型,入射角度45°是观测点谱比规律发生明显变化的分界角度。

本文给出的是粘弹性地形的数值解,现阶段的结论只是进一步验证或给出这种简单地形对地震动频谱特性的影响规律,要得到更多定量结论,还需要做更深入的研究。