人们在研究地壳形变问题时经常计算指定区域的应变场,其原因在于应变场的计算不受参考框架的影响,而位移场、速度场则不可避免受之影响。利用GPS资料计算应变场的公式有多种,如李延兴等(2001)、Savage等(2001)、石耀霖和朱守彪(2004,2006)、黄立人和王敏(2003)、顾国华等(2001)、陶本藻(2001)都对应变计算公式进行过深入研究。同时,多位研究者利用GPS资料研究中国大陆应变场及块体运动,并取得了丰硕的成果,如江在森等(2003)、杨国华等(2002,2008)、张培震等(2003)、王敏等(2003)、张晓亮等(2005)。不同学者通过不同方法获取的应变结果不尽相同,由于在传统应变计算中主要采用平面公式,所以不同公式(平面公式与球面公式)计算结果的差异到底有多大是一个需要研究的问题。

本文首先对不同应变计算公式进行分析,然后在不同的区域用模拟数据作为输入,对比不同公式的计算结果并进行统计分析,最终给出分析结果。文中涉及的应变计算公式主要包括微分公式、球面公式和平面公式。

通过分析公式(3)和公式(5)可知它们的待定未知数均为6个,原则上只需3个观测点就可以求解。但为了评定参数精度,在下面的实验中采用4个点进行计算。实验中的输入数据为模拟数据,如表1所示。该数据一共包括4组,每组4个点,数据单位为mm。4组数据在实验中分布在不同的纬度地区,每组数据的覆盖区域为1.5°。根据表1的数据,通过对公式(2)中u/Rtanφ项量级

表1 实验用模拟数据(单位:mm)
Tab.1 The simulation data for experiment(unit:mm)

的估计可知如果点位分布在纬度45°左右,平面结果与球面结果的差异将达到10^-8量级。下面对该模拟数据进行应变参数计算,进而探讨不同参考面结果的差异。

在实验中把表1的4组数据分布于北半球,对经度分布范围不做特殊限定,覆盖区域的平均纬度在计算结果中给出。并且严格限定每组4条数据的覆盖范围小于1.5°(赤道附近约165 km),测点分布网型良好。表2给出了2个公式、4组数据的计算结果。

表2 小区域不同公式计算结果(10-8)
Tab.2 The calculation results by different formulas in small region

表2的计算结果显示不同公式的差异不大。为了更加清楚的对比平面结果与球面结果的差异,表3给出了相对差异分布情况。其中,相对差异=(平面计算结果-球面计算结果)/球面计算结果,然后取其绝对值并以百分比形式列于表中。

表2和表3显示平面应变结果与球面结果相差非常小,相对差异最大的为高斯平面结果的第1组ε_en,相对差异达到3%,绝对差异仅为0.015×10^-8。据此可知球面结果与平面结果在小区域的差异非常有限,差异的大小与测点的纬度分布没有必然的联系。

表3 平面应变结果与球面结果差异
Tab.3 The difference of strain results between plane formula and sphere formula

前面分析了小区域平面应变结果与球面应变结果的差异,实验中仅有4组结果,不具有普遍意义。为了更加深入的讨论不同公式结果差异的普遍特征,下面对更大的样本进行分析并计算其相对差异,并讨论其分布特征。在分析中按不同的覆盖面积(其中小区域覆盖范围<1.5°、1.5°<中区域覆盖范围<3.0°、3.0°<大区域覆盖范围<5.0°)进行,每个区域的样本数量为1 500(参与统计的参数为4 500个)。在点位的选择上,尽量使数据分布于不同的纬度(1°N～80°N)上,但始终保持网型的良好。图1～3给出了不同覆盖面积的相对差异分布图,其中1a～3a为高斯投影结果与球面结果的差异分布,图1b～3b为兰勃脱割圆锥投影结果与球面结果的差异分布。图中横坐标为相对差异的不同分布区间,纵坐标为该区间的样本个数所占的百分比。

图1～3显示随着区域的增大,相对差异小于1%的比重逐渐下降而相对差异大于1%的比重逐渐上升。并且,高斯投影平面结果的相对差异分布情况与割圆锥投影的统计结果特征一致。因此可以初步认为,平面应变结果与球面应变结果的差异随着区域的增大逐渐增大,该特性是由投影误差决定的。另外,即使在中等区域,相对差异小于10%的结果也占绝大部分比例,因此在中等区域和小区域平面结果是可以接受的。

图1 小区域不同参考面应变相对差异统计图
Fig.1 The statistics chart of relative difference of strain based on different reference surface in small region

图2 中等区域不同参考面相对差异统计图
Fig.2 The statistics chart of relative difference of strain based on different reference surface in medium region

图3 大区域不同参考面应变相对差异统计图
Fig.3 The statistics chart of relative difference of strain based on different reference surface in large region

(1)球面应变微分公式中u/Rtanφ一项的意义。通过分析可以发现直接利用该项做出平面公式与球面公式存在系统差异的论断是不合适的。比如就中国大陆范围内来讲,根据公式(2)采用全球基准的位移数据和欧亚基准的位移数据进行应变计算,将得到不同的结果,这与应变不受整体刚性运动影响的论断不符。所以,在利用公式(2)的微分公式进行应变计算时应该首先扣除计算区域的整体刚性运动。

(2)u/Rtanφ项对块体应变计算公式影响的解释。应变是一定区域内不同点的不同位移产生的综合结果,假设有限的点分布于一个小区域内,由于范围较小因此tanφ差异不会太大,在均匀变形的前提下位移的差异也不可能太大。所以,在区域内进行块体应变计算时,u/Rtanφ的影响可能绝大部分得以抵消,原因在于该项影响的量值在不同测点处相当,无法产生差异性。

(3)关于应变计算公式的选择。本文初步讨论了不同参考面的应变计算公式的差异特征,在中小区域内(<3°)平面结果与球面结果基本一致。所以,对于大区域,应该首选公式(3); 在中小区域内可以任选公式(3)或公式(5)。另外,考虑到计算的简便性及对地球形状描述的近似性,建议优先选择公式(3)。

致谢:感谢王敏研究员和郄钦文研究员在本文的研究过程中给予的帮助。