土体是非线性很强的材料,承受地震荷载时,土的应力应变关系形成封闭的滞回圈。而各个滞回圈的形状、大小和方位都是变化的。为了简化地震作用下土的地震响应分析,Idriss和Seed(1968)最早提出了等价线性方法。由于该方法概念清晰,计算效率高,且计算精度能满足工程需要,目前被工程上广泛应用,已被我国《工程场地地震安全性评价技术规范》(GB17741—2005)推荐使用。

在与其他理论结合方面,吴再光等(1988)将等价线性法与随机理论相结合,解决了一维水平成层地基的地震反应分析问题; 吴再光等(1989)将该方法推广到二维,提出了与随机理论相结合的概率平均等价线性法,随后,吴再光等(1992)又提出了水平成层地基非平稳随机地震反应分析方法,将概率平均等价线性法和时域模态分析相结合。为提高等价线性法的精度,针对其在强震作用下得到的地面反应与实测结果相比较小,且高频段的频响放大倍率较低的问题,学者们进行了一系列的研究:Yoshida等(2005)将频率分为3段,在每个频率段根据其特点采用不同的求等效剪应变抗解公式; 沈建文等(2013)提出了用震级和距离参数修正土体的等效剪应变,使等价线性法更加完善; 王伟等(2013)提出了刚度与阻尼频率相关的等效线性化方法,成功地改善了传统方法压制土体地震动高频成分的缺点,使结果更趋合理。

在实际工程应用中,学者们将等价线性法推广到不同的工程领域:徐学燕等(2003)将等价线性法应用于冻土和软土地基中,黄雨等(2005)利用Edushake程序对上海软土进行了分析,得到了该场地的频谱特性规律和地震加速度反应; 刘海笑和王世水(2006)将等价线性法成功运用于结构—波浪—海床耦合系统的动力响应分析中。

本文通过等价线性法和一维波动传播理论,基于C++平台开发了等价线性法C++程序。对比了地震加速度时程到位移频谱的不同转换过程对结果的影响,并与SHAKE91进行了算例对比,验证了笔者开发程序的准确性。

土是一种非线性材料,其主要参数剪切模量G和阻尼比D都是剪应变γ的函数,如图1所示。地震动越强,土的非线性特征越明显。在强震作用下,由于土体的非线性效应,叠加原理在动力求解的过程中不再适用。等价线性法在频域范围内用线性分析方法近似获得非线性地震响应,即假定在整个地震过程中土层的剪切模量G和阻尼比D均为常数,根据初始的G和D完成一个动力计算过程后,得出一个等效剪应变。根据新的剪应变插值出新的G和D,重复相同的计算过程,直到结果收敛误差达到允许范围为止,这就是等价线性法的非线性迭代过程。

图1 G和D随剪应变大小的变化

为验证自编C++程序的有效性,笔者将此程序与工程中广泛使用的SHAKE91程序就某一核电成层土地基进行了对比。某核电拟建厂址地基为不均匀非岩性地基,由不同类型的粘土、砂土组成,水平成层特征明显,共31层,且厚度较大,为200 m,基岩埋深大。在探孔勘测的基础上,获得了场地的剪切波速和密度等物型参数。图5为输入的加速度时程,各分层剪切波速、密度随厚度变化如图6所示。

在等价线性的频域算法中,计算结果的精度受很多因素的影响。地震加速度时程转换到位移频谱的转换过程就是需要注意的因素之一,在编制C++等价线性法频域算法程序时,对这一问题进行了分析比较。结果表明,若对地震波时程先积分到位移时程,再通过傅里叶变换到位移频谱,自编C++程序与SHAKE91在地表附近处所得加速度峰值误差较大,如图7a、b所示,且计算所得位移谱通过傅里叶逆变

图5 输入的加速度时程

图6 剪切波速(a)和土体密度(b)沿深度的变化

varied with the depth

换向加速度时程还原时在20 s后会出现震荡的情况。若采用直接将加速度时程通过傅里叶变换转换到加速度频谱,通过加速度频谱和位移频谱的转换关系进行计算,C++程序与SHAKE91的计算结果吻合较好,如图7c、d所示。采用内部层输入和露头基岩输入两种不同的输入方式,SHAKE91与C++所得结果基本重合。内部层输入地震动时,基岩(-199 m)处的峰值加速度即为地震波的峰值加速度1.638 m·s^-2,而露头基岩处输入时,基岩(-199 m)处的峰值加速度为1.325 m·s^-2,这是因为露头基岩输入时,-199 m处上行波为输入地震动的一半,上行波向上传播时,受到土层阻尼、反射、散射等的影响,到达土层底部的下行波明显小于输入的上行波,这也很好地印证了露头基岩和下卧基岩地震运动的比例关系。

图7 加速度峰值沿高程的分布

Fig.7 The distribution of the peak of acceleration along the height

(a)internal layer input;(b)bedrock outcrop input;(c)internal layer input;(d)bedrock outcrop input

本文基于C++平台,使用等价线性法和一维剪切波传播理论,开发编制了等价线性法频域计算程序,并对层状地基自由场动力分析的影响因素进行了研究。研究结果表明,地震波时程向位移频谱的转换采用不同的方法会对计算结果产生影响,为等价线性法计算中地震波向位移谱的转换和加速度时程的还原提供了参考。最后将自编C++程序与SHAKE91进行了算例对比,发现两种程序所得加速度峰值吻合良好,验证了所开发程序的准确性。